Realizzazioni

Si considera un sistema espresso con l'equazione differenziale, ovvero

(1)
\begin{align} y^{(n)} + a_{n-1} y^{n-1} + \dots + a_1 y^{(1)} + a_0 y = b_m u^{(m)} + \dots + b_0 u \end{align}

dove $f^{(i)} = \dfrac{d^i}{dt^i} f(t)$. La realizzazione consiste nella costruzione di un sistema che abbia una risposta ingresso uscita analoga a quella del sistema studiato. Essa viene calcolata attraverso le equazioni di stato. Un sistema può essere descritta tramite l'equazione differenziale, tramite la funzione di trasferimento $T(s)$ o attraverso l'equazione di stato.

Passaggio da una rappresentazione all'altra

Se si ha un sistema espresso tramite l'equazione differenziale e si vuole ottenere la rappresentazione con la funzione di trasferimento, allora

(2)
\begin{align} T(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{\bar B(s)}{\bar A(s)} \end{align}

Se si vuole effettuare il passaggio inverso, si perdono le eventuali cancellazioni, quindi l'equazione differenziale non è univoca.
Se si possiede l'equazione di stato, la funzione di trasferimento può essere ottenuta calcolando $C(sI-A)^{-1} B + D$.

Un sistema espresso in funzione di $T(s)$, allora il sistema è completamente controllabile e osservabile, oppure $T(s)$ rappresenta la sola parte controllabile e osservabile. Il sistema sarà completamente controllabile e osservabile solo se non sono state effettuate cancellazioni.

Realizzazione minima

La realizzazione minima è una realizzazione con dimensione minima delle matrici. Se il sistema ha n equazioni di stato, q uscite e m ingressi, allora la matrice complessiva è:

(3)
\begin{align} \left[ \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right] \end{align}

Una realizzazione è minima se ha un numero minimo di equazioni di stato, ovvero n. Le dimensioni delle uscite e degli ingressi non sono modificabili. La realizzazione minima non è unica perché dato un sistema con equazioni di stato

(4)
\begin{eqnarray} x' &=& Ax + Bu \\ y &=& Cx + Du \end{eqnarray}

Le uniche matrici che descrivono il sistema sono $A$, $B$, $C$, $D$. Si può sempre realizzare un cambiamento di base qualunque che rappresenta lo stesso sistema con matrici $\tilde A$, $\tilde B$, $\tilde C$, $\tilde D$.

Si effettua un cambio di base con una qualunque matrice T a rango pieno. Esistono infiniti sistemi diversi a seconda della base utilizzata. L'ordine della realizzazione minima è n, infatti l'uscita relativa all'equazione differenziale è:

(5)
\begin{align} Y(s) = \frac{\bar B(s)}{\bar A(s)} U(s) + \frac{I(s)}{A(s)} \end{align}

dove $deg\:I(s) \< n$, $\frac{\bar B(s)}{\bar A(s)} U(s) = Y_f(s)$ e $\frac{I(s)}{A(s)} = Y_l(s)$. Il polinomio caratteristico di controllo ed osservazione è $\bar A(s)$, mentre $A(s)$ è il polinomio caratteristico di osservazione. Essendo $A(s) = \bar A(s) P(s)$, si verifica che $\varphi_{CO} (s) \subseteq \varphi_O (s)$.

Realizzazione minima in forma di controllo

La realizzazione minima in forma di controllo è detta anche forma compagna controllata, ed è costruita in questo modo:

(6)
\begin{align} x'_n = \left[ \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \dots & -a_{n-1} \end{array} \right] x + \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \dots \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] u \end{equation} \begin{equation} y = \left[ \begin{array}{cccc} b_0-b_n a_0 & b_1-b_n a_1 & \dots & b_{n-1}-b_n a_{n-1} \end{array} \right] x + b_n u \end{align}

Il sistema così costruito corrisponde ad un sistema completamente osservabile.

Per il teorema di Kalmann, se $\rho(P)$ è massimo, allora il sistema è completamente controllabile. La matrice di Kalmann è:

(7)
\begin{align} P = \left[ \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & * \\ 0 & 0 & 0 & \dots & * & * \\ \dots \\ 0 & 0 & 1 & \dots & * & * \\ 0 & 1 & * & \dots & * & * \\ 1 & -a_{n-1} & * & \dots & * & * \\ \end{array} \right] \end{align}

Tutte le colonne sono linearmente indipendenti, quindi $\rho(P)$ è massimo. Il sistema è comunque completamente controllabile, indipendentemente dai valori degli elementi contrassegnati con $*$. Se $A(s) = \bar A(s) P(s)$ e $B(s) = \bar B(s) P(s)$, allora $T(s) = \dfrac{\bar B(s)}{\bar A(s)}$ e avrà un grado inferiore rispetto a quello di $A(s)$:

(8)
\begin{align} deg\:\varphi_{CO}(s) = deg\:\bar A(s) < deg\:A(s) \end{align}

Conoscendo $P(s)$, allora $deg\:\varphi_{CO}(s) = deg\:A(s) - deg\:P(s)$. Il sistema non è completamente controllabile e osservabile, ovvero sono tutti controllabili ma non tutti saranno osservabili.
Se sono state effettuate cancellazioni tra i polinomi $A(s)$ e $B(s)$, allora costruendo la compagna controllabile si otterrà un sistema completamente controllabile, ma non tutti i poli saranno osservabili. Se invece non ci sono state cancellazioni, allora $deg\:\varphi_{CO}(s) = deg\:\bar A(s) = n$, e il sistema sarà completamente controllabile e osservabile.

Esempio

Si considera un sistema con i polinomi $A(s) = \varphi(s) = s(s+1)$ e $B(s) = s+1$. La forma compagna controllabile è:

(9)
\begin{align} x' = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{array} \right] x + \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right] u \end{align}
(10)
\begin{align} y = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \end{array} \right] x \end{align}

Le matrici di Kallman sono:

(11)
\begin{align} P = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right] \end{align}
(12)
\begin{align} Q = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \end{align}

I polinomi caratteristici sono: $\varphi(s) = s(s+1)$, $\varphi_C(s) = \varphi(s)$, perché il sistema è completamente controllabile. Poiché $\rho(Q) = 1$, allora $dim\:X_{NO} = 1$, quindi $deg\:\varphi_O = 1$. Il polo osservabile può essere sia $s = 0$ che $s = -1$. Per trovarlo si scrive la matrice di trasferimento:

(13)
\begin{align} T(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{s+1}{s(s+1} = \frac{1}{s} \end{align}

Quindi $\varphi_{CO} = s$: il polo $s = 0$ è controllabile e osservabile.

Esempio

Si considera un sistema con la seguente equazione di stato:

(14)
\begin{align} x' = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] x + \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] u \end{align}
(15)
\begin{align} y = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array} \right] x \end{align}

esso è già decomposto secondo Kallman, infatti $x'_1 = u$, $x'_2 = x_2$, $y = x_2$. L'uscita è influenzata solo da $x_2$, quindi è osservabile ma non è controllabile. Lo stato $x_1$ non influenza l'uscita, quindi non è osservabile, ma è controllabile. I polinomi caratteristici sono:
$\varphi(s) = (s-1)^2$, $\varphi_C(s) = (s-1)$, $\varphi_O(s) = (s-1)$, $\varphi_{CO}(s)$ non è $(s-1)$, perché $\varphi_C$ e $\varphi_O$ si riferiscono a due autovalori uguali ma distinti. Quindi $\varphi_{CO}(s) = 1$. La forma compagna controllata descrive bene la risposta forzata, ma non quella libera.

Se nella funzione di trasferimento ci sono cancellazioni di fattori comuni, indicati con $P(s)$, allora non è indicata l'impiego della forma compagna controllabile. L'equazione differenziale è sempre completamente osservabile.

Realizzazione minima in forma di osservazione

Questa realizzazione è detta anche forma compagna osservabile. Si suppone che il sistema sia single-input single-output. La forma controllabile è definita così:

(16)
\begin{eqnarray} x' &=& A_c x + B_c u \\ y &=& C_c x + Du \end{eqnarray}
(17)
\begin{align} S = \left[ \begin{array}{cc} A_C & B_C \\ C_C & D \end{array} \right] \end{align}

Si suppone di considerare una forma compagna osservabile così:

(18)
\begin{eqnarray} z' &=& A^T_c z + C^T_c u \\ y &=& B^T_c z + Du \end{eqnarray}
(19)
\begin{align} S = \left[ \begin{array}{cc} A^T_C & C^T_C \\ B^T_C & D \end{array} \right] \end{align}

Questa matrice è la trasposta della matrice della forma compagna controllabile nel caso di un sistema single-input single-output. La matrice di trasferimento è la stessa:

(20)
\begin{equation} T_C(s) = C_C (sI-A_C)^{-1} B_C + D \end{equation}
(21)
\begin{equation} T_O(s) = B^T_C (sI - A^T_C)^{-1} C^T_C + D \end{equation}

La forma compagna osservabile è sempre completamente osservabile.

Applicando il teorema di Kallman alla forma compagna osservabile, la matrice di osservabilità $Q$ è:

(22)
\begin{align} Q = \left[ \begin{array}{c} C \\ CA \\ \dots \\ CA^{n-1} \end{array} \right] \end{align}

Il rango di una matrice è uguale al rango della matrice trasposta, quindi

(23)
\begin{align} Q = \left[ \begin{array}{cccc} B_C & A_C B_C & \dots A^{n-1}_C B_C \end{array} \right]^T \end{align}

Quindi la matrice $Q$ è uguale alla matrice di controllabilità $P$ trasposta: $Q = P^T$. Se la compagna contollabile è sempre controllabile, allora $P$ è una matrice a rango pieno: $\rho(P) = n$. Allora la compagna osservabile è anch'essa a rango pieno: $\rho(Q) = \rho(P^T) = \rho(P) = n$. Se nell'equazione differenziale lineare si hanno cancellazioni tra $A(s)$ e $B(s)$ allora si impiega la forma compagna osservabile. Le caratteristiche sono: è sempre completamente osservabile, $\varphi(s) = A(s)$, $\varphi_O(s) = A(s)$, $\varphi_{CO}(s) = \bar A(s)$.
Tutti i poli sono osservabili, ma non tutti sono anche controllabili. Solo i poli nel polinomio caratteristico $\varphi_{CO}(s)$ lo sono, essendo $\varphi(s) = \bar A(s) P(s)$, le radici di $\bar A(s)$ sono controllabili e osservabili, mentre quelle di $P(s)$ sono solo osservabili.

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