Si considera un sistema espresso con l'equazione differenziale, ovvero
(1)dove $f^{(i)} = \dfrac{d^i}{dt^i} f(t)$. La realizzazione consiste nella costruzione di un sistema che abbia una risposta ingresso uscita analoga a quella del sistema studiato. Essa viene calcolata attraverso le equazioni di stato. Un sistema può essere descritta tramite l'equazione differenziale, tramite la funzione di trasferimento $T(s)$ o attraverso l'equazione di stato.
Passaggio da una rappresentazione all'altra
Se si ha un sistema espresso tramite l'equazione differenziale e si vuole ottenere la rappresentazione con la funzione di trasferimento, allora
(2)Se si vuole effettuare il passaggio inverso, si perdono le eventuali cancellazioni, quindi l'equazione differenziale non è univoca.
Se si possiede l'equazione di stato, la funzione di trasferimento può essere ottenuta calcolando $C(sI-A)^{-1} B + D$.
Un sistema espresso in funzione di $T(s)$, allora il sistema è completamente controllabile e osservabile, oppure $T(s)$ rappresenta la sola parte controllabile e osservabile. Il sistema sarà completamente controllabile e osservabile solo se non sono state effettuate cancellazioni.
Realizzazione minima
La realizzazione minima è una realizzazione con dimensione minima delle matrici. Se il sistema ha n equazioni di stato, q uscite e m ingressi, allora la matrice complessiva è:
(3)Una realizzazione è minima se ha un numero minimo di equazioni di stato, ovvero n. Le dimensioni delle uscite e degli ingressi non sono modificabili. La realizzazione minima non è unica perché dato un sistema con equazioni di stato
(4)Le uniche matrici che descrivono il sistema sono $A$, $B$, $C$, $D$. Si può sempre realizzare un cambiamento di base qualunque che rappresenta lo stesso sistema con matrici $\tilde A$, $\tilde B$, $\tilde C$, $\tilde D$.
Si effettua un cambio di base con una qualunque matrice T a rango pieno. Esistono infiniti sistemi diversi a seconda della base utilizzata. L'ordine della realizzazione minima è n, infatti l'uscita relativa all'equazione differenziale è:
(5)dove $deg\:I(s) \< n$, $\frac{\bar B(s)}{\bar A(s)} U(s) = Y_f(s)$ e $\frac{I(s)}{A(s)} = Y_l(s)$. Il polinomio caratteristico di controllo ed osservazione è $\bar A(s)$, mentre $A(s)$ è il polinomio caratteristico di osservazione. Essendo $A(s) = \bar A(s) P(s)$, si verifica che $\varphi_{CO} (s) \subseteq \varphi_O (s)$.
Realizzazione minima in forma di controllo
La realizzazione minima in forma di controllo è detta anche forma compagna controllata, ed è costruita in questo modo:
(6)Il sistema così costruito corrisponde ad un sistema completamente osservabile.
Per il teorema di Kalmann, se $\rho(P)$ è massimo, allora il sistema è completamente controllabile. La matrice di Kalmann è:
(7)Tutte le colonne sono linearmente indipendenti, quindi $\rho(P)$ è massimo. Il sistema è comunque completamente controllabile, indipendentemente dai valori degli elementi contrassegnati con $*$. Se $A(s) = \bar A(s) P(s)$ e $B(s) = \bar B(s) P(s)$, allora $T(s) = \dfrac{\bar B(s)}{\bar A(s)}$ e avrà un grado inferiore rispetto a quello di $A(s)$:
(8)Conoscendo $P(s)$, allora $deg\:\varphi_{CO}(s) = deg\:A(s) - deg\:P(s)$. Il sistema non è completamente controllabile e osservabile, ovvero sono tutti controllabili ma non tutti saranno osservabili.
Se sono state effettuate cancellazioni tra i polinomi $A(s)$ e $B(s)$, allora costruendo la compagna controllabile si otterrà un sistema completamente controllabile, ma non tutti i poli saranno osservabili. Se invece non ci sono state cancellazioni, allora $deg\:\varphi_{CO}(s) = deg\:\bar A(s) = n$, e il sistema sarà completamente controllabile e osservabile.
Esempio
Si considera un sistema con i polinomi $A(s) = \varphi(s) = s(s+1)$ e $B(s) = s+1$. La forma compagna controllabile è:
(9)Le matrici di Kallman sono:
(11)I polinomi caratteristici sono: $\varphi(s) = s(s+1)$, $\varphi_C(s) = \varphi(s)$, perché il sistema è completamente controllabile. Poiché $\rho(Q) = 1$, allora $dim\:X_{NO} = 1$, quindi $deg\:\varphi_O = 1$. Il polo osservabile può essere sia $s = 0$ che $s = -1$. Per trovarlo si scrive la matrice di trasferimento:
(13)Quindi $\varphi_{CO} = s$: il polo $s = 0$ è controllabile e osservabile.
Esempio
Si considera un sistema con la seguente equazione di stato:
(14)esso è già decomposto secondo Kallman, infatti $x'_1 = u$, $x'_2 = x_2$, $y = x_2$. L'uscita è influenzata solo da $x_2$, quindi è osservabile ma non è controllabile. Lo stato $x_1$ non influenza l'uscita, quindi non è osservabile, ma è controllabile. I polinomi caratteristici sono:
$\varphi(s) = (s-1)^2$, $\varphi_C(s) = (s-1)$, $\varphi_O(s) = (s-1)$, $\varphi_{CO}(s)$ non è $(s-1)$, perché $\varphi_C$ e $\varphi_O$ si riferiscono a due autovalori uguali ma distinti. Quindi $\varphi_{CO}(s) = 1$. La forma compagna controllata descrive bene la risposta forzata, ma non quella libera.
Se nella funzione di trasferimento ci sono cancellazioni di fattori comuni, indicati con $P(s)$, allora non è indicata l'impiego della forma compagna controllabile. L'equazione differenziale è sempre completamente osservabile.
Realizzazione minima in forma di osservazione
Questa realizzazione è detta anche forma compagna osservabile. Si suppone che il sistema sia single-input single-output. La forma controllabile è definita così:
(16)Si suppone di considerare una forma compagna osservabile così:
(18)Questa matrice è la trasposta della matrice della forma compagna controllabile nel caso di un sistema single-input single-output. La matrice di trasferimento è la stessa:
(20)La forma compagna osservabile è sempre completamente osservabile.
Applicando il teorema di Kallman alla forma compagna osservabile, la matrice di osservabilità $Q$ è:
(22)Il rango di una matrice è uguale al rango della matrice trasposta, quindi
(23)Quindi la matrice $Q$ è uguale alla matrice di controllabilità $P$ trasposta: $Q = P^T$. Se la compagna contollabile è sempre controllabile, allora $P$ è una matrice a rango pieno: $\rho(P) = n$. Allora la compagna osservabile è anch'essa a rango pieno: $\rho(Q) = \rho(P^T) = \rho(P) = n$. Se nell'equazione differenziale lineare si hanno cancellazioni tra $A(s)$ e $B(s)$ allora si impiega la forma compagna osservabile. Le caratteristiche sono: è sempre completamente osservabile, $\varphi(s) = A(s)$, $\varphi_O(s) = A(s)$, $\varphi_{CO}(s) = \bar A(s)$.
Tutti i poli sono osservabili, ma non tutti sono anche controllabili. Solo i poli nel polinomio caratteristico $\varphi_{CO}(s)$ lo sono, essendo $\varphi(s) = \bar A(s) P(s)$, le radici di $\bar A(s)$ sono controllabili e osservabili, mentre quelle di $P(s)$ sono solo osservabili.