Retroazione algebrica sull'uscita

Mentre la retroazione algebrica sullo stato modifica l'ingresso di un sistema in questo modo

(1)
\begin{equation} u = kx + v \end{equation}

la retroazione algebrica sull'uscita modifica l'ingresso così:

(2)
\begin{equation} u = ky + v \end{equation}

La retroazione algebrica sullo stato non modifica la proprietà di controllabilità, mentre può modificare la proprietà di osservabilità. La retroazione sullo stato può essere essere eseguita.

Effettuando una retroazione algebrica sull'uscita su un sistema con equazioni

(3)
\begin{eqnarray} x' &=& Ax + Bu \\ y &=& Cx \end{eqnarray}

si ottiene

(4)
\begin{eqnarray} x' &=& Ax + B(ky + v) \\ y &=& Cx \end{eqnarray}

sostituendo il valore dell'uscita $y$ nella prima equazione si ottiene:

(5)
\begin{equation} x' = Ax + BkCx + Bv = (A + BkC)x + Bv \end{equation}

L'equazione dell'uscita diventa

(6)
\begin{equation} u = ky + v = kCx + v \end{equation}

ponendo $k_s \triangleq kC$, allora $u = k_s x + v$.

retroazione_uscita.pdf

Fig 8.1 Sistema con retroazione sull'uscita

La retroazione sull'uscita, essendo quest'ultima dipendente dallo stato, è in realtà una particolare retroazione algebrica sullo stato x. La particolarità consiste nella scelta arbitraria di $k_s$. Se esistesse $C^{-1}$, ovvero se $C$ avesse rango n, allora si avrebbero n righe linearmente indipendenti. Riordinando la matrice $C$ si ottiene:

(7)
\begin{align} C = \left[ \begin{array}{c} C' \\ C'' \end{array} \right] \end{align}

dove $C'$ è una matrice invertibile. Nel caso limite in cui $C = 0$, allora $k_s = 0\:\forall\:k$ e non è possibile qualunque retroazione sull'uscita (infatti in questo caso l'uscita non esisterebbe).

Decomposizione completa di Kalmann

Nella decomposizione completa di Kalmann si suddivide il sistema in quattro parti:

  • Parte controllabile e non osservabile
  • Parte controllabile e osservabile
  • Parte non controllabile e non osservabile
  • Parte non controllabile e osservabile

Esiste un cambiamento di base per cui si ottiene questa scomposizione. L'equazione del sistema diventa:

(8)
\begin{align} \left[ \begin{array}{c} z'_{CNO} \\ z'_{CO} \\ z'_{NCNO} \\ z'_{NCO} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} \tilde{A}_{11} & \tilde{A}_{12} & \tilde{A}_{13} & \tilde{A}_{14} \\ 0 & \tilde{A}_{22} & 0 & \tilde{A}_{24} \\ 0 & 0 & \tilde{A}_{33} & \tilde{A}_{34} \\ 0 & 0 & 0 & \tilde{A}_{44} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} z_{CNO} \\ z_{CO} \\ z_{NCNO} \\ z_{NCO} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} \tilde{B}_1 \\ \tilde{B}_2 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] u \end{align}

La parte controllabile corrisponde alla parte superiore del sistema, mentre l'uscita è data da:

(9)
\begin{align} y = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & \tilde{C}_2 & 0 & \tilde{C}_4 \end{array} \right] \end{align}
decomposizione_kallman.pdf

Fig 8.2 Decomposizione completa di Kallman

Si ricava questa scomposizione supponendo si effettuare la seguente retroazione:

(10)
\begin{align} z = (\tilde{A} + \tilde{B}k\tilde{C})z + v \end{align}

dove $\tilde{A}^* \triangleq \tilde{A} + \tilde{B}k\tilde{C}$. La generica matrice $\tilde{B}k\tilde{C}$ è:

(11)
\begin{align} \left[ \begin{array}{c} \tilde{B}_1 \\ \tilde{B}_2 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cccc} 0 & k \tilde{C}_2 & 0 & k \tilde{C}_4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & \tilde{B}_1 k \tilde{C}_2 & 0 & \tilde{B}_1 k \tilde{C}_4 \\ 0 & \tilde{B}_2 k \tilde{C}_2 & 0 & \tilde{B}_2 k \tilde{C}_4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \end{align}

quindi

(12)
\begin{align} \tilde{A}^* = \tilde{A} + \tilde{B} k \tilde{C} = \left[ \begin{array}{cccc} \tilde{A}_{11} & \tilde{A}_{12} + \tilde{B}_1 k \tilde{C}_2 & \tilde{A}_{13} & \tilde{A}_{14} + \tilde{B}_1 k \tilde{C}_4 \\ 0 & \tilde{A}_{22} + \tilde{B}_2 k \tilde{C}_2 & 0 & \tilde{A}_{24} + \tilde{B}_2 k \tilde{C}_4 \\ 0 & 0 & \tilde{A}_{33} & \tilde{A}_{34} \\ 0 & 0 & 0 & \tilde{A}_{44} \end{array} \right] \end{align}

Polinomio caratteristico di $\tilde{A}^*$

La matrice $\tilde{A}^*$ è una matrice triangolare superiore a blocchi con blocchi triangolari superiori, quindi:

(13)
\begin{align} \varphi(s) = \tilde{\varphi}(s) = det(sI - \tilde{A}) = det(sI_{11} - \tilde{A}_{11})det(sI_{22} - \tilde{A}_{22})det(sI_{33} - \tilde{A}_{33})det(sI_{44} - \tilde{A}_{44}) \end{align}

con matrici $I$ di dimensione opportune. Si definiscono i seguenti polinomi caratteristici:

  • $det(sI_{11} - \tilde{A}_{11}) = \varphi_{CNO}(s)$
  • $det(sI_{22} - \tilde{A}_{22}) = \varphi_{CO}(s)$
  • $det(sI_{33} - \tilde{A}_{33}) = \varphi_{NCNO}(s)$
  • $det(sI_{44} - \tilde{A}_{44}) = \varphi_{NCO}(s)$

Con la retroazione, il polinomio caratteristico diventa:

(14)
\begin{align} \varphi^*(s) = \tilde{\varphi}^*(s) = \varphi_{CNO}(s) det(sI_{22} - \tilde{A}_{22}) \varphi_{NCNO}(s) \varphi_{NCO}(s) \end{align}

Quindi, sono modificabili (ma non assegnabili) tutti e soli i poli controllabili e osservabili}, ovvero quelli relativi a $\varphi_CO(s)$. Infatti

  • se un polo non è osservabile non si rileva attraverso l'uscita
  • se un polo non è controllabile non può essere modificato

Calcolo del polinomio

La matrice di trasferimento $T(s)$, che rappresenta la relazione tra ingresso e uscita forzata ($Y_f(s) = T(s)U(s)$, possiede elementi che rappresentano le funzioni di trasferimento tra ogni singolo ingresso e ogni uscita. Essendo $A^*$ una matrice triangolare superiore può essere invertita, ottenendo una matrice con elementi diagonali pari all'inverso degli elementi diagonali di $A^*$:

(15)
\begin{align} (si - A)^{-1} = \left[ \begin{array}{cccc} (sI_{11}-\tilde{A}_{11})^{-1} & \tilde{M}_{12} & \tilde{M}_{13} & \tilde{M}_{14} \\ 0 & (sI_{22}-\tilde{A}_{22})^{-1} & \tilde{M}_{23} & \tilde{M}_{24} \\ 0 & 0 & (sI_{33}-\tilde{A}_{33})^{-1} & \tilde{M}_{34} \\ 0 & 0 & 0 & (sI_{44}-\tilde{A}_{44})^{-1} \end{array} \right] \end{align}

dove $M_{ij}$ sono matrici generiche. La funzione di trasferimento relativa al cambiamento di base relativo alla decomposizione di kalmann è indicata con $\tilde{T}(s)$ ed è pari a:

(16)
\begin{align} \tilde{T}(s) = \tilde{C}(sI - \tilde{A})^{-1}\tilde{B} = \tilde{C}_2(sI_{22} - \tilde{A}_{22})^{-1}\tilde{B}_{2} \end{align}

Nella metrice $\tilde{T}(s)$ scompaiono tutti gli autovalori non controllabili e non osservabili. Restano solo i poli controllabili e osservabili. Calcolando il polinomio caratteristico di $\tilde{C}_2(sI_{22} - \tilde{A}_{22})^{-1}\tilde{B}_{2}$ si ottiene $\tilde{\varphi}_{CO}(s)$, ovvero il polinomio di controllo ed osservazione. Non è necessario effettuare la decomposizione completa, infatti $\tilde{\varphi}_{CO}(s)=\varphi_{CO}(s)$.
La matrice $T$ descrive la relazione tra ingresso $u$ ed uscita $y$. Si suppone di aver scritto il sistema in una certa base: essendo $u$ e $y$ esterne al sistema essa non è importante

(17)
\begin{equation} T(s) = C(sI-A)^{-1}B + D \end{equation}
(18)
\begin{align} \tilde{T}(s) = \tilde{C}(sI - \tilde{A})^{-1} \tilde{B} + D \end{align}

la matrice $\tilde{D}$ non esiste perché rappresenta la dipendenza algebrica dell'uscita dall'ingresso ed è indipendente dalla base. Si considera un controllo $u(t)$, con $\mathscr{L}\left\lbrace u(t) \right\rbrace = U(s)$. Allora, si ha che:

(19)
\begin{equation} Y_f(s) = T(s) U(s) \end{equation}

Le matrici $T(s)$ e $\tilde{T}(s)$ sono uguali: se così non fosse, il sistema avrebbe uscite diverse a partire dallo stesso ingresso. Ciò non è possibile, perché il sistema non viene modificato, ma è solo descritto da una base diversa. Invece di calcolare $\tilde{T}(s)$ è quindi possibile calcolare direttamente $\varphi_{CO}(s)$, il polinomio caratteristico relativo alla matrice $C(sI-A)^{-1}B$, ovvero relativa a

(20)
\begin{equation} T(s) = C(sI-A)^{-1}B \end{equation}

Attraverso una generica retroazione sull'uscita si possono modificare solo i poli controllabili e osservabili. Infatti

(21)
\begin{align} C \left[ (sI-A)^{-1} B \right] = \left[ C (sI-A)^{-1} \right] B \end{align}

quindi $C (sI-A)^{-1} B$ contiene tutti e soli i poli osservabili e controllabili.

Teorema

La retroazione algebrica sull'uscita non modifica le proprietà di osservabilità e di controllabilità. Non sempre si possono assegnare i poli perché non sempre si hanno abbastanza parametri. Dopo aver effettauto la retroazione si ha $\varphi^*_{CO} \neq \varphi_{CO}$, ma hanno lo stesso grado: $deg\:\varphi^*_{CO} = deg\:\varphi_{CO}$.

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