Sia S un sistema dove agisce un controllo u in funzione del tempo e una uscita y. La retroazione consiste nella misurazione di alcune quantità, come lo stato, e l'impiego di questi valori per assegnare il controllo. Lo stato x dipende dal controllo e il controllo è influenzato dallo stato.
(1)un sistema retroazionato corrisponde all'applicazione di un controllo $u = v + kx$. Sostituendo si ha
(2)L'equazione dell'uscita resta immutata: $y = Cx + Du$.
Raccogliendo il termine $x$ si ha:
(3)quindi, un sistema retroazionato è equivalente ad un sistema lineare, poiché è lineare la relazione tra stato e controllo, con matrici $A^*$ e $B^*$ seguenti:
(4)quindi, l'equazione del sistema è:
(6)Ponendo $k=0$, si ritorna al sistema non retroazionato:
(7)Controllabilità
Essendo k una matrice, la relazione è algebrica con lo stato e si chiama retroazione algebrica e lineare. Si può dimostrare che le proprietà di controllabilità non vengono modificate da una retroazione sullo stato.
Dimostrazione
Si ipotizza che un dato stato $\hat x$ sia raggiungibile. Allora, per definizione esiste, fissato un tempo $\hat t >\ 0$ finito, una certa funzione di controllo $\hat u(t)$ tale che se $x(0^-) = 0$, allora $x(\hat t) = \hat x$. In un sistema retroazionato l'equazione dello stato è:
(9)per capire se un sistema è raggiungibile si deve stabilire se esiste un controllo tale da raggiungere lo stato $\hat x$. Sia $\hat v$ un controllo
(10)sostituendo si ottiene
(11)con questo controllo si elimina il termine $Bkx$ dal sistema, dovuto alla retroazione. Il sistema ha la stessa evoluzione nel tempo del sistema originale, che può raggiungere lo stato $\hat x$. Quindi
(12)lo spazio generato dalle colonne della matrice $P = [ B \vert AB \vert \dots \vert A^{n-1}B ]$ è uguale alla matrice $P^* = [ B \vert A^*B \vert \dots A^{(n-1)*}B ]$.
Decomponendo secondo Kalman, ovvero separando lo spazio nella parte controllabile e nella parte non controllabile, nella nuova base il controllo applicato al sistema diventa:
(13)la matrice $kT$ effettua il cambiamento di base nel sistema retroazionato:
(14)l'equazione dello stato diventa
(15)Dimostrazione
(16)effettuando il cambiamento di base
(18)raccogliendo a destra il termine $z$ si ha:
(19)Questa equazione è uguale a quella di un sistema retroazionato con cambiamento di base. Il polinomio caratteristico $\tilde{\varphi}^* (s)$ del sistema retroazionato nella nuova base è dato dato da (per definizione) $det(sI - \tilde{A}^*)$, ovvero:
(20)Poiché il cambiamento di base non modifica il polinomio caratteristico, allora
(21)ovvero il polinomio caratteristico del sistema retroazionato con il cambiamento di base è uguale al polinomio caratteristico del sistema retroazionato originale.
Il polinomio caratteristico originale è:
(22)dove il primo termine è chiamato $\varphi_C (s)$ e il secondo termine $\varphi_NC (s)$. Il polinomio caratteristico con la retroazione è:
(23)Gli autovalori relativi al polinomio $\varphi_{NC} (s)$ non vengono modificati dalla retroazione, quindi i poli non controllabili rimangono tali. Le radici di $\varphi_{C} (s)$ invece possono essere modificate dalla retroazione.
Si definiscono poli non controllabili le radici del polinomio $\varphi_{NC} (s)$.
Inoltre è possibile, tramite una opportuna scelta di k, assegnare a piacere gli autovalori di $\varphi_C (s)$, ovvero le radici di $det \left[ sI_{11} - (\tilde{A}_{11} + \tilde{B}_{1}kT_R) \right]$
Esempio
Dato il sistema seguente:
(24)si determini la raggiungibilità (o controllabilità). La matrice di Kalmann è:
(25)si ha $\rho(P) = 1 = n_R$. Il sottospazio di raggiungibilità è $X_R = \alpha \left[ 1 1 \right]^T$. Il polinomio caratteristico del sistema è:
(26)gli autovalori sono $s_1 = 0$, $s_2 = -1$. Il polinomio caratteristico di controllabilità ha grado $n_R = 1$, quindi $\varphi_C(s) = s$ oppure $\varphi_C(s) = (s + 1)$. Uno dei due autovalori rappresenta un polo controllabile. Si calcola la matrice $(sI - a)^{-1}$, che risulta
(27)Il polinomio minimo è il minimo comune multiplo dei denominatori termini non nulli della matrice $(sI - A)^{-1}$, quindi, il m.c.m dei termini s; s(s+1); s+1; è
(28)poiché il polinomio minimo ha le stesse radici almeno con molteplicità 1 del polinomio caratteristico, allora in questo caso coincide con il polinomio caratteristico. Il polinomio minimo ha una radice con parte reale nulla, quindi non è asintoticamente stabile, ma con molteplicità pari a 1, quindi è semplicemente stabile. Si calcola il polinomio di controllo attraverso la matrice $(sI - A)^{-1}B$
(29)quindi $\varphi_C (s) = s$, perché il valore $s$ è il m.c.m dei determinanti dei minori non nulli delle sottomatrici quadrate. Il polo $s = 0$ è quello controllabile con la retroazione. Si può verificare questo risultato effettuando la retroazione del sistema, con il controllo seguente:
(30)quindi
(31)L'evoluzione dello stato è
(32)si calcola il polinomio caratteristico della matrice $A^*$, relativa al sistema con retroazione:
(33)Il polinomio caratteristico relativo al sistema retroazionato è:
(34)Il termine $s+1$, ovvero il polo $s = -1$ è immutato, e non può essere quindi modificato. Invece è possibile modificare l'autovalore $s = k_1 + k_2$ assegnando i due parametri $k_1$ e $k_2$ dovuti alla retroazione.
Riassumendo, un sistema è completamente controllabile (raggiungibile) se $X_R = R^n$. Si può verificare in diversi modi:
- verificando che $n_R = n$, ovvero $\rho(P) = n$
- verificando che $deg \varphi_c(s) = n$, ovvero $\varphi_C (s) = \varphi(s)$
Se tutti gli stati sono raggiungibili allora tutti i poli sono controllabili, e viceversa.
Sistema decomposto con Kallman e retroazionato
La parte $S_{NR}$ non è influenzata dalla scelta di $k$, ovvero da $u$. Gli autovalori di $S_{NR}$ non sono raggiungibili.
Stabilizzabilità
La stabilizzabilità di un sistema è la possibilità di rendere asintoticamente stabile un sistema attraverso una retroazione sullo stato. Si controlla il sistema con un sistema di feedback, in questi casi:
- (caso banale) se il sistema è già asintoticamente stabile, è sicuramente stabilizzabile
- se il sistema è completamente controllabile, allora è stabilizzabile, perchè si possono assegnare i poli del sistema in modo che abbiano parte reale minore negativa
- in generale, un sistema è stabilizzabile se tutti i poli non controllabili hanno parte reale negativa. Infatti essi non sono controllabili, e se uno di essi avesse parte reale positiva, non si potrebbe impiegare la retroazione sullo stato per assegnarlo. Invece si possono modificare i poli controllabili in modo da renderli asintoticamente stabili.
Esempio
Si considera il seguente sistema:
(35)si calcola la matrice di Kalman per verificare la controllabilità
(36)si ha $\rho(P) = 2$, quindi il sistema è completamente controllabile e di conseguenza, stabilizzabile. Il polinomio caratteristico è:
(37)Esempio
Si considera il seguente sistema:
(38)essendo la matrice $A$ di tipo triangolare superiore, si possono ricavare direttamente gli autovalori, che si trovano sulla diagonale:$\varphi(s) = (s+1)(s-1)$
Il sistema risulta già decomposto, e le equazioni sono:
si può notare che il componente dello stato $x_2$ non è influenzato dagli altri componenti dello stato e neppure dal controllo. Calcolando la matrice $P$ si ottiene:
(40)infatti, $\rho(P) = 1$ e il sottospazio di raggiungibilità è $X_R = \alpha [ 1 0 ]^T$. La matrice $(sI - A)^{-1}$ è la seguente:
(41)La matrice di trasferimento tra controllo e stato è:
(42)quindi il polinomio caratteristico di controllabilità è:
(43)e il polo controllabile è $s = 1$, mentre $s = -1$ non è controllabile. Poiché il polo non controllabile è asintoticamente stabile (avendo parte reale negativa), il sistema è stabilizzabile: si può assegnare il polo controllabile (e non stabile) tramite una retroazione sullo stato, ad esempio
(44)Esempio
Il seguente sistema:
(45)è già decomposto secondo Kalman: una variabile di stato non è influenzabile. Ha autovalori $s_1 = 0$ e $s_2 = 0$, presenti sulla diagonale della matrice $A$, e non sono a parte reale negativa. Quindi il sistema non è stabilizzabile.
(46)Un polo è controllabile e uno non controllabile.