Stabilità e punti di equilibrio

Stabilità di un sistema espresso da un'equazione di stato

Si è mostrato come un sistema possa essere espresso con il sistema costituito dalle equazioni seguenti:

(1)
\begin{eqnarray} X(s) &=& (s I - A)^{-1} x(0^-) + (s I - A)^{-1} B U(s) \\ Y(s) &=& CX(s) + DU(s) \end{eqnarray}

Si sostitusce l'espressione di $X(s)$ nella seconda equazione, ottenendo:

(2)
\begin{align} Y(s) = C (s I - A)^{-1} x(0^-) + \left[ C(s I - A)^{-1} B + D \right] U(s) \end{align}

dove il termine $\left[ C(s I - A)^{-1} B + D \right]$ rappresenta la matrice di trasferimento $T(s)$.
Un sistema può essere rappresentato attraverso:

  • L'equazione differenziale
  • la funzione o matrice di trasferimento $T(s)$ (che rappresenta solo la risposta forzata, quindi la stabilità BIBO)
  • l'equazione di stato

Definizione

Si dice punto di equilibrio una configurazione del sistema (ovvero lo stato del sistema e l'ingresso) tale da far tendere il sistema in quella stessa configurazione.

Intuitivamente, si può prendere ad esempio una pallina. Applicando un certo ingresso, ovvero una forza, si può spostare la pallina. Si considera la posizione della pallina come uscita. Se si trova sul fondo di una conca, quando si applica una piccola forza, la pallina si sposterà leggermente per tornare successivamente nella posizione originale. Questa situazione rappresenta un punto di equilibrio asintoticamente stabile. Se la pallina si trovasse su un piano perfettamente orizzontale, essa si sposterebbe solamente dopo l'applicazione della forza. Esso rappresenta un punto di equilibrio semplicemente stabile. Se invece si posizionasse la pallina su una “collina”, è sufficiente applicare una piccola forza per far rotolare via la pallina, essendo un punto di instabilità.

punti_di_equilibrio.pdf

Fig. 4.1 Punti di equilibrio

Definizione

$\bar X$, $\bar U$ è un punto di equilibrio di un sistema se, continuando ad applicare il controllo $\bar U$, ed essendo lo stato del sistema $\bar X$, allora il sistema permane in quello stato, ovvero $x(t) = \bar X \forall t \geq \bar t$

$\bar X$, $\bar U$ è un punto di equilibrio stabile se $\forall \varepsilon >\ 0$ $\exists \delta_{\varepsilon} >\ 0$ tale che $\vert x(0^-) - \bar x \vert <\ \delta_{\varepsilon}$ allora $\vert x(t) - \bar x \vert \leq \varepsilon$ per $t \geq 0$.
Se inoltre $x(t) \rightarrow \bar X$ per $t \rightarrow \infty$ allora il punto è di equilibrio di stabilità asintotica.

I punti asintoticamente stabile devono essere isolati. Se non lo fossero, allora dalla definizione lo stato dovrebbe tendere contemporaneamente a due punti diversi. Possono esistere infiniti punti semplicemente stabili.

Studio dei punti di equilibrio nei sistemi LTI

Dato un sistema $x' = Ax + Bu$ (la proprietà di un punto di equilibrio non richiede lo studio dell'uscita del sistema, ma considera solo l'evoluzione dello stato), lo stato $\bar X$ è di equilibrio se $\exists \bar U$ tale che $\bar X$ e $\bar U$ è un punto di equilibrio.
In un punto di equilibrio lo stato non cambia, quindi si ha una derivata nulla: $x' = 0$. Quindi un punto $\bar X, \bar U$ è di equilibrio se e solo se

(3)
\begin{equation} x' = Ax + Bu = 0 \end{equation}

Supponiamo per ipotesi che in un punto di equilibrio i valori di $\bar X$ e $\bar U$ siano costanti. Allora ponendo il sistema nello stato iniziale $x(0^-)$ si ha che

(4)
\begin{align} \bar x'(t) = A \bar x(t) + B \bar u(t) = 0 \end{align}

mettendo a sistema l'equazione precedente con la \ref{eqn:stato} e sottraendo membro a membro si ottiene

(5)
\begin{align} \left[ x'(t) - \bar x'(t) \right] = A \left[ x(t) - \bar x (t) \right] \end{align}

Definizione

Si definisce distanza di $x(t)$ da $\bar X$ la quantità $\delta_x (t) \triangleq x(t) - \bar x(t) = x(t) - \bar x$.

Sostituendo nell'equazione precedente si ha:

(6)
\begin{align} \bar \delta_x (t) = A \delta_x (t) \end{align}

l'equazione descrive l'evoluzione della distanza dello stato dal punto di equilibrio. La stabilità di un punto di equilibrio non dipende quindi dal particolare valore di $\bar U$ e neppure da $\bar x$, ovvero dal particolare punto di equilibrio, ma solo dalla distanza.
Qualsiasi punto di equilibrio ha le stesse proprietà, quindi un sistema non può avere un punto di equilibrio stabile e un punto di equilibrio instabile.

Si parla quindi di stabilità del sistema (solo nei sistemi lineari), perché tutti i punti di equilibrio hanno le stesse caratteristiche. Per sapere se un sistema è stabile, è sufficiente studiare un qualunque suo punto di equilibrio.

Esiste sempre un punto di equilibrio, ovvero il punto $\bar X = 0$ e $\bar U = 0$. In questo caso si ha:

(7)
\begin{align} \delta_x (t) = x(t) - \bar X = x(t) \end{align}

Dato il sistema

(8)
\begin{equation} x' = Ax + Bu \end{equation}

si vuole studiare

(9)
\begin{equation} x' = Ax \end{equation}

ovvero l'evoluzione del sistema quando $BU = 0$, ovvero l'evoluzione dello stato del sistema per $U=0$, quindi l'evoluzione libera dello stato $x_l (t)$.

Lo stato possiede un'evoluzione libera e una evoluzione forzata. L'evoluzione libera è descritta dall'equazione

(10)
\begin{equation} x_l (t) = e^{At} x(0^-) \end{equation}

che corrisponde nel dominio di Laplace a

(11)
\begin{equation} X_l (s) = (sI - A)^{-1} x(0^-) \end{equation}

La matrice $(sI - A)^{-1}$ fornisce l'andamento dell'evoluzione libera e può essere chiamata con $M(s)$:

(12)
\begin{align} M(s) x(0^-) = \left[ \begin{array}{cccc} m_{11}(s) & m_{12}(s) & \dots & m_{1n}(s) \\ m_{21}(s) & \dots & \dots & \dots \\ \dots \\ m_{n1}(s) & \dots & \dots & m_{nn}(s) \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1(0^-) \\ x_2(0^-) \\ \dots \\ x_n(0^-) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} m_{11}(s) \\ \dots \\ m_{1n}(s) \end{array} \right] x_1(0^-) + \dots + \left[ \begin{array}{c} m_{n1}(s) \\ \dots \\ m_{nn}(s) \end{array} \right] x_n(0^-) \end{align}

Per $\forall x(0^-)$, deve essere $x_l (t) <\ \varepsilon$ Ipotizzando che

(13)
\begin{align} x(0^-) = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \dots \\ 0 \end{array} \right] \end{align}

allora l'evoluzione libera dello stato è data dall'antitrasformata del vettore

(14)
\begin{align} \left[ \begin{array}{c} m_{11}(s) \\ m_{12}(s) \\ \dots \\ m_{1n}(s) \end{array} \right] \end{align}

Se uno solo di questi termini fosse divergente allora si avrebbe una condizione iniziale dello stato $x(0^-)$ che fa divergere lo stato. Si deve quindi verificare che ogni termine non divergano nel tempo. Usando la condizione iniziale

(15)
\begin{align} x(0^-) = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \dots \\ 0 \end{array} \right] \end{align}

allora dalla moltiplicazione si otterrà la seconda colonna della matrice $M$. Da queste osservazioni si ricava la condizione di stabilità seguente:
Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità è la non divergenza di ogni termine della matrice $(sI - A)^{-1}$. Se solo un termine divergesse, allora si potrebbe sempre scegliere una opportuna condizione iniziale $x(0^-)$ che fa divergere lo stato.

La stabilità dello stato nel dominio del tempo deriva dall'equazione

(16)
\begin{equation} x_l (t) = e^{At} x(0^-) \end{equation}

e corrisponde allo studio della matrice $e^{At}$.

Stabilità interna

La stabilità di un sistema (ovvero di tutti i suoi punti di equilibrio) si ottiene dalla risposta libera che rappresenta lo spostamento dal punto $\bar X=0$, $\bar U=0$, che è sempre un punto di equilibrio di un sistema.

Se esiste un qualunque denominatore degli elementi della matrice $(sI - A)^{-1}$ ha parte reale $>\ 0$ allora il sistema possiede instabilità forte: l'evoluzione dello stato diverge con velocità esponenziale. Si può sempre scegliere un opportuno vettore di stato iniziale tale da far divergere la risposta libera dello stato. Se un componente della risposta libera diverge, allora divergerà anche la sua distanza dal punto di equilibrio.
Se divergesse l'elemento $m_{ij}$, allora il seguente stato iniziale

(17)
\begin{align} \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \dots \\ 1 \\ \dots \\ 0 \end{array} \right] \end{align}

dove l'elemento con valore $1$ è nella posizione j-esima, e moltiplicato a $(sI - A)^{-1}$ genera una evoluzione libera dello stato divergente, poiché contiene proprio il termine $m_{ij}$.

Se tutte le radici sono a parte reale $\leq 0$ (e nessuna ha parte reale positiva), e le radici degli elementi con parte reale nulla hanno molteplicità superiore a 1 si ha instabilità debole. L'evoluzione dello stato diverge con velocità polinomiale.

Se tutti i termini hanno denominatori con parte reale $<\ 0$, allora l'antitrasformata degli elementi corrisponderà a termini che tendono a $0$. Il sistema possiede stabilità asintotica.

Negli altri casi si ha stabilità semplice.

Polinomio caratteristico e polinomio minimo

Si definisce polinomio caratteristico della matrice A o polinomio caratteristico del sistema la quantità

(18)
\begin{align} \varphi (s) \equiv \varphi_A (s) \triangleq det (sI - A) \end{align}

Si definiscono autovalori del sistema (o della matrice A) le radici di $\varphi (s)$, ovvero le soluzioni $\varphi (s) = 0$

Si dice che il polinomio caratteristico è un polinomio annullante, ovvero un polinomio $p(A)$ tale che sostituendo ad s la matrice A, esso si annulla.

Definizione

Si definisce polinomio minimo di una matrice A il polinomio annullante di grado minimo, e si indica con $m_A(s)$

Il polinomio caratteristico e il polinomio minimo hanno la seguente relazione:
le radici di $m_A (s)$ sono anche radici di $\varphi_A(s)$, al più con molteplicità inferiore. Quindi tutte le radici di $\varphi_A(s)$ sono presenti in $m_A(s)$, con molteplicità almeno pari a 1.

Esempio

Non è possibile avere i seguenti polinomi:

(19)
\begin{eqnarray} \varphi_A(s) = s^2 (s+1) \\ m_A(s) = s(s+1)(s-1) \end{eqnarray}

perché $m_A(s)$ possiede una radice $s = 1$ che non è presente nel polinomio caratteristico $\varphi_A(s)$.

Metodo per calcolare il polinomio minimo

Il polinomio $m_A(s)$ è il minimo comune multiplo di tutti i denominatori degli elementi non nulli della matrice $(sI - A)^{-1}$.

Esempio

Sia dato un sistema con una matrice $A$ nulla di dimensione $n=2]]$. Si calcola [[$(sI - A)^{-1}$:

(20)
\begin{eqnarray} sI = \left[ \begin{array}{cc} s & 0 \\ 0 & s \end{array} \right] \\ (sI - A)^{-1} = sI^{-1} = \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{s} & 0 \\ 0 & \frac{1}{s} \end{array} \right] \end{eqnarray}

L'evoluzione libera dello stato è:

(21)
\begin{align} x_l (t) = \mathscr{L}^{-1} \left\lbrace \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{s} & 0 \\ 0 & \frac{1}{s} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1(0^-) \\ x_2(0^-) \end{array} \right] \right\rbrace = \mathscr{L}^{-1} \left\lbrace \left[ \begin{array}{c} x_1(0^-) \frac{1}{s} \\ x_2(0^-) \frac{1}{s} \end{array} \right] \right\rbrace = \left[ \begin{array}{c} x_1(0^-) 1(t) \\ x_2(0^-) 1(t) \end{array} \right] \end{align}

Il sistema è semplicemente stabile. Il polinomio caratteristico è:

(22)
\begin{align} \varphi(s) = det (sI - A) = s^2 \end{align}

con radice $s=0$] e molteplicità 2. Il minimo comune multiplo dei denominatori è:

(23)
\begin{align} m(s) = mcm \left\lbrace s, s \right\rbrace = s \end{align}

Esempio

Sia dato un sistema con una matrice $A$ pari a:

(24)
\begin{align} \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \end{align}

La matrice $(sI - A)$ è pari a

(25)
\begin{align} \left[ \begin{array}{cc} s & -1 \\ 0 & s \end{array} \right] \end{align}

La matrice inversa è:

(26)
\begin{align} \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{s} & \frac{1}{s^2} \\ 0 & \frac{1}{s} \end{array} \right] \end{align}

L'evoluzione libera dello stato è pari a:

(27)
\begin{align} x_l (t) = \mathscr{L}^{-1} \left\lbrace \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{s} & \frac{1}{s^2} \\ 0 & \frac{1}{s} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1(0^-) \\ x_2(0^-) \end{array} \right] \right\rbrace \end{align}

quindi:

(28)
\begin{align} x_l (t) = \mathscr{L}^{-1} \left\lbrace \begin{array}{l} \frac{1}{s} x_1(0^-) + \frac{1}{s^2} x_2(0^-) \\ \frac{1}{s} x_2(0^-) \end{array} \right. = \left\lbrace \begin{array}{l} x_1(0^-) 1(t) + t x_2(0^-) 1(t) \\ x_2(0^-) 1(t) \end{array} \right. \end{align}

Il polinomio caratteristico è:

(29)
\begin{align} \varphi(s) = det \left[ \begin{array}{cc} s & -1 \\ 0 & s \end{array} \right] = s^2 \end{align}

non è possibile capire la stabilità di un sistema solo osservando il polinomio caratteristico. Il polinomio minimo è:

(30)
\begin{align} m(s) = mcm \left\lbrace s, s^2, s \right\rbrace = s^2 \end{align}

Proprietà del polinomio minimo

  • Se tutti gli autovalori (le radici del polinomio minimo e del polinomio caratteristico) di A hanno parte reale $<\ 0$, allora si ha stabilità asintotica
  • Se almeno un autovalore di A ha parte reale $>\ 0$ si ha instabilità forte
  • Se tutti gli autovalori di A hanno parte reale $\leq 0$, ed ogni autovalore con parte reale $= 0$ hanno molteplicità pari a 1 si ha stabilità semplice
  • Se tutti gli autovalori di A hanno parte reale $\leq 0$, ed almeno un autovalore con parte reale $= 0$ hanno molteplicità superiore a 1 allora di ha instabilità debole

Metodo non operativo per il calcolo del polinomio caratteristico

Il polinomio caratteristico $\varphi(s)$ è dato dal minimo comune multiplo di tutti i denominatori dei determinanti non nulli di tutte le sottomatrici quadrate della matrice $(s I - A)^{-1}$.

Si calcola la matrice $(s I - A)^{-1}$ e da essa si ottengono le sottomatrici eliminando un qualunque numero di righe e colonne. Si definisce:

  • $\varphi(s)$ il polinomio caratteristico della matrice $(s I - A)^{-1}$
  • $\varphi_C(s)$ il polinomio caratteristico della matrice $(s I - A)^{-1} B$
  • $\varphi_O(s)$ il polinomio caratteristico della matrice $C (s I - A)^{-1}$
  • $\varphi_{CO}(s)$ il polinomio caratteristico della matrice $C (s I - A)^{-1} B$

Stabilità BIBO

Lo studio della stabilità BIBO riguarda l'uscita forzata. La condizione necessaria e sufficiente per la stabilità BIBO è la parte reale negativa di tutti dei denominatori degli elementi non nulli di $T(s)$.

In base alla definizione di polinomio caratteristico e di polinomio minimo si ha stabilità BIBO se tutte le radici di $\varphi_CO (s)$ siano a parte reale $<\ 0$. Poiché la molteplicità non è importante, e poiché tutte le radici del polinomio caratteristico sono comprese nel polinomio minimo, allora si può considerare anche il polinomio minimo corrispondente.

Nella stabilità non è considerata la matrice $D$, poiché essa non è rilevante ai fini della stabilità BIBO.

La matrice di trasferimento, nel dominio di laplace, è data da:

(31)
\begin{equation} T(s) = C (sI - A)^{-1} B + D \end{equation}

dove la matrice $(sI - A)^{-1}$ è può essere scritta come $\frac{Adj (sI - A)^{-1}}{\varphi(s)}$. Tutti gli elementi della matrice $Adj (sI - A)^{-1}$ non possono avere grado superiore rispetto a quello di $\varphi(s)$, che è pari a $n$.
Gli elementi hanno grado inferiore a $n$, e quindi tutti gli elementi di $(sI - A)^{-1}$ sono funzioni razionali con grado del denominatore maggiore rispetto a quello del numeratore. Le moltiplicazioni con le matrici $C$ e $D$ generano delle combinazioni lineari degli elementi, che quindi non possono raggiungere un grado al denominatore superiore a quello di partenza.
Quindi, tutti gli elementi della matrice $C (sI - A)^{-1} B$ hanno elementi con grado del denominatore maggiore a quello del numeratore. La somma con la matrice $D$ è equivalente alla somma con una costante: sia

(32)
\begin{align} \frac{Num_{ij}}{Den_{ij}} \end{align}

l'elemento alla riga $i$ e colonna $j$ della matrice $C (sI - A)^{-1} B$. Sommando la matrice $D$ si ottiene:

(33)
\begin{align} \frac{Num_{ij}}{Den_{ij}} + D_{ij} = \frac{Num'_{ij}}{Den_{ij}} \end{align}

dove $D_{ij}$ è l'elemento alla riga $i$ e alla colonna $j$ della matrice $D$, e $Num'_{ij} = Num_{ij} + Den_{ij} D_{ij}$.
Se il grado del numeratore è inferiore a $n$, e quello del denominatore pari a $n$, allora la quantità $Num_{ij} + Den_{ij} D_{ij}$ ha grado pari a $n$, poiché $D_{ij}$ è una costante.

Se $D \ne 0$ il sistema è semplicemente proprio, mentre se $D = 0$ il sistema è strettamente proprio. Si può raffigurare l'uscita del sistema con il seguente grafico:

Il sistema complessivo ha le seguenti equazioni:

(34)
\begin{align} \left\lbrace \begin{array}{ccc} x' &=& Ax + Bu \\ y &=& Cx + Du \end{array} \right. \end{align}

Dove $Cx = y_A$, dipende dalla dinamica (evoluzione) dello stato $x$ ed è indipendente dalla matrice $D$. Mentre $Du = y_B$ dipende solo da $u$.
Quindi, il sistema può essere scomposto considerando un sottosistema $\tilde S$, che è la parte strettamente propria del sistema. Il sottosistema $\tilde S$ ha la stessa dinamica dello stato del sistema principale e ha come uscita $y_A$; è un sistema dinamico ed è strettamente proprio. Le sue equazioni sono:

(35)
\begin{align} \left\lbrace \begin{array}{ccc} x' &=& Ax + Bu \\ y_A &=& Cx \end{array} \right. \end{align}

Un sistema può essere sempre separato nella sua parte dinamica e nella sua parte semplicemente algebrica. Per il principio di sovrapposizione, il sistema strettamente proprio ha una matrice di sovrapposizione $\tilde T(s)$ tale che

(36)
\begin{align} \tilde T(s) = C(sI - A)^{-1} B \end{align}

mentre il resto del sistema ha matrice di trasferimento

(37)
\begin{align} \tilde{\tilde{T}}(s) = D \end{align}

Poiché $y = y_A + y_B$ si ha $T(s) = \tilde T(s) + \tilde{\tilde{T}}(s) = C(sI - A)^{-1} B + D$. Il denominatore non cambia dalla somma di una costante, quindi per verificare la stabilità BIBO lo studio della matrice $C(sI - A)^{-1} B$ è identico allo studio della matrice $C(sI - A)^{-1} B + D$. Si sceglie, poiché è più semplice, studiare la matrice $C(sI - A)^{-1} B$.
Il polinomio $\varphi_{co} (s)$ è detto polinomio caratteristico di controllo ed osservazione, e si ottiene considerando il minimo comune multiplo di tutti i denominatori non nulli di tutti i minori della matrice $C(sI - A)^{-1} B$. $\varphi_{co} (s)$ è detto anche poolinomio caratteristico della matrice $C(sI - A)^{-1} B$.
Poiché $\varphi(s)$ è il polinomio caratteristico relativo a $(sI - A)^{-1}$, la moltiplicazione per una matrice costante $C$ corrisponde ad un insieme di combinazioni lineari che non possono aggiungere altri elementi al polinomio caratteristico. Al contrario, è invece possibile che eliminino degli elementi.
Dato $M(s) = (sI - A)^{-1}$, allora la matrice $C M(s)$ è data da una combinazione lineare delle colonne di $M$. Per questo motivo, il polinomio relativo alla matrice $C (sI - A)^{-1}$, ovvero $\varphi_o(s)$, non può avere più termini di $\varphi (s)$. In particolare, se $C \equiv I$, allora $\varphi (s) \equiv \varphi_{o} (s)$. Se $C$ è nulla, allora $\varphi_{o} (s) = 0$. Per questo motivo si ha:

(38)
\begin{align} \varphi_{o} (s) \subseteq \varphi (s) \end{align}

Alcuni termini di $\varphi(s)$ potrebbero scomparire anche per valori di $C$ non nulli.

La matrice $(sI - A)^{-1} B$ ha polinomio caratteristico $\varphi_c (s)$, e quindi si ha che:

(39)
\begin{align} \varphi_{c} (s) \subseteq \varphi (s) \end{align}

Quindi, $\varphi_{CO} (s)$ è sicuramente un sottoinsieme di $\varphi_{o} (s)$ e di $\varphi_{c} (s)$:

(40)
\begin{eqnarray} \varphi_{co} (s) \subseteq \varphi_{c} (s) \subseteq \varphi (s) \\ \varphi_{co} (s) \subseteq \varphi_{o} (s) \subseteq \varphi (s) \end{eqnarray}

Se nel polinomio $\varphi_{co} (s)$ esiste una radice con parte reale $>\ 0$, allora esso sarà presente anche in $\varphi(s)$. Se tutte le radici di $\varphi_{co} (s)$ hanno parte reale $<\ 0$, ciò non dimostra che lo siano anche tutte quelle di $\varphi(s)$. Se il polinomio $\varphi_{co} (s)$ ha grado $n$, allora $\varphi (s) = \varphi_{co} (s)$: in questo caso se il sistema è stabile BIBO, allora è anche stabile internamente in modo asintotico. Vale invece sempre la seguente relazione: se un sistema ha stabilità interna asintotica, allora ha anche stabilità BIBO.

Cambiamento di base

Quando un vettore è composto da un insieme di numeri reali, ad esempio $\bar x = \left[ x_1, x_2, \dots, x_n \right]^T$, allora è possibile associarlo ad un punto in uno spazio n-dimensionale relativo ad una base ortonormale destra (ovvero una base composta da n vettori ortogonali con norma pari a 1). Una base è un insiseme di vettori $e_1, e_2, \dots, e_n$ con modulo unitario. Il vettore può essere quindi scritto come: $\bar x = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \dots + x_n e_n$.
Un punto può essere rappresentato da qualunque base formata da vettori linearmente indipendenti. Il cambiamento di base è rappresentato da una matrice.

Si considera un sistema con le seguenti equazioni:

(41)
\begin{align} \left\lbrace \begin{array}{ccc} x' &=& Ax + Bu \\ y &=& Cx + Du \end{array} \right. \end{align}

la prima equazione descrive il vettore $x$, che rappresenta un punto espresso in una base di $\R^n$. Si può dimostrare che le proprietà di stabilità di un sistema sono indipendenti dalla base. Un cambiamento di base comporta l'introduzione di un nuovo vettore $z$ che rappresenta il punto indicato dal vettore $x$ nella nuova base, tramite il prodotto di una matrice $T$ invertibile:

(42)
\begin{equation} z = T^{-1}x \end{equation}

$T$ è una qulunque matrice invertibile con rango massimo, quindi con $n$ colonne indipendenti. Sostituendo l'equazione (42) nelle equazioni del sistema, essendo la derivazione una operazione lineare, si ottiene:

(43)
\begin{align} \left\lbrace \begin{array}{ccc} Tz' &=& ATz + Bu \\ y &=& CTz + Du \end{array} \right. \end{align}

la prima equazione non è un'equazione di stato perché il termine $z'$ è moltiplicato per la matrice $T$. Per questo motivo si pre-moltiplicano ambo i membri per $T^{-1}$, ottenendo

(44)
\begin{align} \left\lbrace \begin{array}{ccc} T^{-1}Tz' &=& T^{-1}ATz + T^{-1}Bu \\ y &=& CTz + Du \end{array} \right. \end{align}

quindi il sistema diventa

(45)
\begin{align} \left\lbrace \begin{array}{ccc} z' &=& T^{-1}ATz + T^{-1}Bu \\ y &=& CTz + Du \end{array} \right. \end{align}

Sia $\tilde{S}$ il sistema nella nuova base, $\tilde{A} = T^{-1}AT$, $\tilde{B} = T^{-1}B$, $\tilde{C} = CT$ e $\tilde{D} = D$.
Il nuovo vettore di stato è $z$, e il sistema $\tilde{S}$ è uguale al sistema $S$ di partenza, con la differenza del cambiamento di base. Gli ingressi e le uscite sono identiche. L'unica matrice immutata è $\tilde{D}$, ovvero la parte semplicemente algebrica del sistema.

La stabilità BIBO è una stabilità esterna e non può essere modificata dai cambiamenti di base, poiché mette in relazioni delle quantità esterne al sistema: gli ingressi e le uscite.

La funzione di trasferimento, nella vecchia e nella nuova base è:

(46)
\begin{eqnarray} T(s) = C (sI - A)^{-1} B \\ \tilde{T}(s) = \tilde{C} (sI - \tilde{A})^{-1} \tilde{B} = CT(sI - T^{-1}AT)^{-1} T^{-1}B \end{eqnarray}

poiché $T^{-1}IT = T^{-1}T = I$, allora si può moltiplicare il termine $sI$ in questo modo:

(47)
\begin{align} \tilde{T}(s) = CT(T^{-1}sIT - T^{-1}AT) T^{-1}B \end{align}

si raccoglie a sinistra la matrice $T^{-1}$ e a destra la matrice $T$ all'interno della parentesi:

(48)
\begin{align} \tilde{T}(s) = CT(T^{-1}(sI - A)T)^{-1} T^{-1}B = CT (T^{-1}(sI - A)^{-1} T) T^{-1}B = CT T^{-1} (sI - A)^{-1} TT^{-1}B = C (sI - A)^{-1} B \end{align}

quindi

(49)
\begin{align} \tilde{T}(s) = \tilde{C}) (sI - \tilde{A})^{-1} \tilde{B} = C (sI - A)^{-1} B = T(s) \end{align}

Il cambiamento di base non modifica la funzione di trasferimento.

I polinomi caratteristici sono:

(50)
\begin{eqnarray} \varphi(s) = det(sI - A) \\ \tilde{\varphi}(s) = det(sI - \tilde{A}) = det(sI - T^{-1}AT) = det(T^{-1}(sI - A) T) \end{eqnarray}

il determinante del prodotto è il prodotto dei determinanti, quindi

(51)
\begin{align} \tilde{\varphi}(s) = det(T^{-1}(sI - A) T) = det(T^{-1}) det(sI - A) det(T) \end{align}

inoltre, $det(T^{-1}) = \frac{1}{det(T)}$, quindi

(52)
\begin{align} \tilde{\varphi}(s) = det(sI - A) = \varphi(s) \end{align}

Il polinomio caratteristico e il polinomio minimo non cambiano con il cambiamento di base: $\tilde{\varphi}(s) = \varphi(s)$, $\tilde{m}(s) = m(s)$.

Teorema di Hurwitz

Il teorema di Hurwitz permette di studiare la stabilità attraverso la verifica delle radici del polinomio caratteristico.
Dato un polinomio caratteristico $\varphi(s) = s^n + a_{n-1} s^{s-1} + \dots + a_1 s + a_0$, si definisce matrice di Hurwitz, indicata con $H$, la seguente matrice:

(53)
\begin{align} H = \left[ \begin{array}{ccccccccc} a_{n-1} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ a_{n-3} & a_{n-2} & a_{n-1} & 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ a_{n-5} & a_{n-4} & a_{n-3} & a_{n-2} & a_{n-1} & 1 & 0 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{array} \right] \end{align}

gli elementi con valore $1$ rappresentano i coefficienti di $a_n$. Il polinomio caratteristico può essere scritto in questo modo:

(54)
\begin{align} \varphi(s) = \dots + a_{n+2}s^{n+2} + a_{n+1} s^{s+1} + a_n s^n + a_{n-1} s^{s-1} + a_{n-2}s^{n-2} + \dots + a_1 s + a_0 + \dots + a_{-1} s^{-1} + a_{-2} s^{-2} + \dots \end{align}

le righe della matrice di Hurwitz (53) si costruiscono a partire dal termine $a_{n-1}$ e spostandosi a sinistra. Nella riga successiva si riparte considerando il termine $a_{n-3}$ e ci si sposta verso sinistra nuovamente.

Esempio

Sia $\varphi(s) = s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0$. La matrice $H$ corrispondente è una matrice 3x3, poiché il polinomio $\varphi$ è di grado 3:

(55)
\begin{align} H = \left[ \begin{array}{ccc} a_2 & 1 & 0 \\ a_0 & a_1 & a_2 \\ 0 & 0 & a_0 \end{array} \right] \end{align}

Sia $D_i$ il determinante del minore principale di ordine $i$. Un minore è costituito dalla matrice ottenuta considerando solo le prime $i$ righe e le prime $i$ colonne. Considerando la matrice (53), i coefficienti $D_1$, $D_2$, …, $D_n$ sono:

(56)
\begin{eqnarray} D_1 = a_{n-1} \\ D_2 = a_{n-1}a_{n-2} - a_{n-3} \\ D_n = det(H) \end{eqnarray}

Teorema di Hurwitz

Il polinomio caratteristico $\varphi(s)$ ha tutte le radici a parte reale strettamente minore di zero se e solo se tutti i determinanti dei minori principali della matrice $H$ sono strettamente maggiori di zero.

(57)
\begin{align} D_i >\ 0 \forall i \end{align}

Esempio

Sia $\varphi(s) = s^2 + a_1 s + a_0$. La matrice di Hurwitz è:

(58)
\begin{align} H = \left[ \begin{array}{cc} a_1 & 1 \\ 0 & a_0 \end{array} \right] \end{align}

Allora, $D_1 = a_1$, $D_2 = a_1 a_0$. Le radici di $\varphi(s)$ sono $Re <\ 0$ se e solo se $a_1 >\ 0$ e $a_0 a_1 >\ 0$, quindi deve essere $a_0 > 0$ e $a_1 >\ 0$.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License