Equazione di stato
Definizione
Lo stato di un sistema dinamico è un vettore (o insieme) di variabili che permettono di ottenere una rappresentazione completa e perfetta del sistema in ogni istante.
Esempio
Sia $m$ una massa in moto rettilineo, spinta da una forza $F$. Si ha:
(1)Considerando come ingresso la forza $u = F$ e come uscita la posizione $y$ del corpo, l'equazione differenziale che determina l'uscita è:
(2)Le condizioni iniziali sono: $y(0^-)$, che rappresenta la posizione in $t = 0^-$, mentre $y'(0^-)$ rappresenta la velocità in $t = 0^-$. In questo caso le condizioni iniziali sono lo stato del sistema.
Si definisce il vettore stato nel seguente modo:
(3)Siano $\bar y \in \mathbb{R}^q$ il vettore uscita e $\bar u \in \mathbb{R}^m$ il vettore ingresso.
In un sistema LTI allora l'uscita è descritta dal seguente sistema:
Le uscite sono combinazioni lineari degli stati e dei controlli. I termini $A$, $B$, $C$, $D$ sono matrici con dimensioni seguenti: $A \in \mathbb{R}^{nxn}$, $B \in \mathbb{R}^{nxm}$, $C \in \mathbb{R}^{qxn}$, $D \in \mathbb{R}^{qxm}$. In forma matriciale le equazioni diventano:
(5)La matrice $[S]$ è composta dalle matrici $A$, $B$, $C$, $D$, in questo modo:
(6)La prima parte è:
(7)ovvero un sistema di equazioni lineari differenziali del primo ordine a coefficienti costanti.
L'unica soluzione dell'equazione differenziale (4) corrispondente all'evoluzione dello stato è:
(9)Il primo termine corrisponde all'evoluzione libera dello stato $x_l (t)$ e il secondo termine all'evoluzione forzata dello stato $x_f (t)$. La matrice $e^{At}$ è detta matrice di transizione del sistema. Sostituendo la soluzione (9) nella seconda equazione (4) si ottiene:
(10)Il primo termine corrisponde alla risposta libera $y_l (t)$ e gli altri termini alla risposta forzata $y_f (t)$. Vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Se $y'_t$ è la risposta del sistema quando si trova nello stato $x'(0^-)$ ed è sottoposto ad un ingresso $u'(t)$ e $y''_t$ è la risposta del sistema relativa allo stato $x''(0^-)$ e all'ingresso $u''(t)$, allora se le condizioni iniziali del sistema corrispondono ad una combinazione lineare di $x'$ e $x''$ e l'ingresso è una combinazione lineare di $u'$ e $u''$, allora l'uscita sarà una combinazione lineare di $y'$ e $y''$. In formule, se
(11)allora
(12)La matrice $e^{At}$, ovvero la matrice di transizione del sistema, può essere calcolata in vari modi.
Il primo metodo consiste nell'espansione in serie. Nel caso scalare si ha:
(13)analogamente, si ottiene:
(14)la sommatoria infinita può essere calcolata semplicemente quando la matrice $A$ è tale che per qualche $k$ si ottiene $A^k = 0$. Allora $A^{k+1} = A^k A = 0$ e $A^{k+h} = A^k A^h = 0$. Una matrice con tale proprietà è detta matrice nilpotente. La sommatoria è quindi limitata ai primi $k$ termini, poiché i successivi sono nulli.
Esempio
La seguente matrice $A$:
(15)è tale che
(16)quindi per $i \geq 2$ la matrice $A^i$ è nulla. Allora la matrice di transizione del sistema è:
(17)Il secondo metodo consiste nella diagonalizzazione o nella jordanizzazione della matrice: se $A$ è una matrice diagonale, ovvero
(18)allora la matrice $e^{At}$ è anch'essa una matrice diagonale, i cui termini corrispondono all'esponenziale dei termini diagonali della matrice $A$:
(19)Se la matrice $A$ non è diagonale ma diagonalizzabile (ovvero esiste una matrice di trasformazione $T$ invertibile tale che $T^{-1} A T$ è diagonale), allora sia $T \in M_{nxn}$, $A \in M_{nxn}$. Si ha:
(20)Essendo la matrice $T^{-1} A T$ diagonale, allora la matrice $e^{T^{-1} A T}$ si può calcolare come in precedenza.
Se la matrice $A$ non è diagonale e non è diagonalizzabile, si può usare la forma di Jordan della matrice, che esiste sempre. In altre parole, esiste sempre una trasformazione lineare invertibile tale che la matrice $T^{-1} A T$ è una matrice di Jordan, una matrice diagonale a blocchi.
(21)Con $B_1$, $B_2$, $\dots$, $B_n$ sono blocchi di Jordan. Allora
(22)Occorre quindi calcolare l'esponenziale di ogni blocco di Jordan.
Il terzo metodo consiste nell'impiego della trasformata di Laplace. Si risolve l'equazione differenziale nel dominio di Laplace: essendo
(23)l'equazione {4) diventa:
(24)Si può liberamente moltiplicare un qualunque vettore per la matrice identità $I$:
(25)moltiplicando ambo i membri per $(s I - A)^{-1}$ si ottiene:
(26)Il primo termine rappresenta l'evoluzione libera dello stato, mentre il secondo termine l'evoluzione forzata dello stato: $X_l (s) = (s I - A)^{-1} x(0^-)$, $X_f (s) = (s I - A)^{-1} B U(s)$. Nel dominio del tempo si ha:
(28)essendo entrambi soluzioni, allora una equazione è la trasformata dell'altra. I termini che moltiplicano le condizioni iniziali $x(0^-)$ corrispondono alla matrice di transizione:
(29)in genere $(sI - A)^{-1}$ è una matrice. Nel caso scalare si ha: $(sI - A)^{-1} = \frac{1}{s-a}$. Antitrasformando si ottiene:
(30)quindi l'equazione matriciale è la generalizzazione della formula precedente. L'antitrasformata di Laplace di una matrice è una matrice i cui elementi corrispondono all'antitrasformata di ogni elemento.
L'evoluzione forzata del sistema è:
passando nel dominio del tempo, il prodotto diventa una convoluzione, quindi corrisponde esattamente alla termine
(32)L'uscita del sistema è data da:
(33)sostituendo l'espressione di $X(s)$ della (\ref{eqn:stato_laplace}) si ottiene:
(34)Anche in questo caso, si può paragonare questa equazione con la (10) poiché sono entrambe soluzioni. L'evoluzione libera dell'uscita, ovvero la risposta libera $Y_l (s)$ corrisponde a:
(36)e nel tempo a:
(37)mentre la risposta forzata corrisponde a:
(38)nel tempo a:
(39)La matrice di trasferimento è:
(40)ed è analoga alla funzione di trasferimento.
Esempio
Si consideri un sistema che ha le seguenti equazioni:
(41)si calcola la matrice di trasferimento. La matrice $(s I - A)^{-1}$ è calcolata in questo modo:
(43)si procede calcolando la matrice inversa, che esiste se il determinante della matrice non è nullo.
(44)L'inversa di una matrice a blocchi è l'insieme dei blocchi invertiti: data una matrice $M$
(45)la sua inversa è:
(46)in alternativa si può impiegare la seguente formula:
(47)In questo caso si ha:
(48)dove $M_1^{-1}$ si calcola con l'equazione 47. Svolgendo i calcoli si ottiene:
(49)la matrice di trasferimento è quindi:
(50)L'antitrasformata di Laplace di una matrice è una matrice i cui elementi corrispondono all'antitrasformata di ogni elemento.
(51)