Teoria dei Sistemi

Stabilità

La stabilità di un sistema è un proprietà molto importante e può essere di due tipi:

  • Stabilità della risposta libera
  • Stabilità della risposta forzata

Stabilità della risposta libera

Definizione

Si dice che un sistema è stabile nella risposta libera se per qualsiasi condizione iniziale del sistema (o combinazione di condizioni iniziali) la risposta libera $y_l(t)$ rimane limitata nel tempo.
Si dice che un sistema è asintoticamente stabile nella risposta libera (Fig. 2.1) se per qulsiasi condizione iniziale la risposta libera tende a zero, ovvero

(1)
\begin{align} \lim_{t \rightarrow \infty} y_l(t) = 0 \end{align}

Se un sistema non è stabile allora è instabile, ovvero un sistema si dice instabile nella risposta libera se esiste almeno una condizione iniziale tale che $y_l(t)$ diverge. In generale non si può affermare che un sistema è stabile osservando che il limite $\lim_{t \rightarrow \infty} y_l(t) = 0$ è soddisfatto per una certa condizione iniziale, perché la stabilità richiede che il limite valga per qualunque condizione iniziale.

sistema_stabile.pdf

Fig 2.1 (a) Sistema stabile


sistema_asintoticamente_stabile.pdf

(b) Sistema asintoticamente stabile

Condizioni di stabilità

Teorema: Condizioni di stabilità

Un sistema è asintoticamente stabile nella risposta libera se e solo se (condizione necessaria e sufficiente) tutte le radici del polinomio $A(s)$ hanno $\Re <\ 0$

Dimostrazione

La risposta libera è data da $Y_l(s) = \frac{I(s)}{A(s)}$. Nei sistemi propri, allora anche $\frac{I(s)}{A(s)}$ sarà una funzione fratta strettamente propria, quindi essendo $deg_{max} I(s) <\ n-1$ si può esprimere in fratti semplici. L'antitrasformata dei singoli fratti semplici converge a 0 per $t \rightarrow \infty$ se e solo se la parte reale delle radici dei denominatori è $<\ 0$.

La stabilità asintotica della risposta libera richiede che tutte le radici di $A(s)$ abbiano parte reale minore di 0.
La stabilità semplice della risposta libera richiede che alcune radici abbiano parte reale uguale a 0, e che tutte le altre abbiano radici con parte reale minore di 0. La molteplicità delle radici non deve essere superiore a 1. Infatti un termine di tipo $\frac{1}{s}$ corrisponde nel tempo ad una funzione a gradino $1(t)$. Un termine di tipo $\frac{1}{s^2}$ corrisponde ad una funzione rampa, che non è stabile poiché diverge verso l'infinito: $t 1(t)$.

Riassunto

  • Stabilità asintotica: tutte le radici hanno $Re <\ 0$
  • Stabilità semplice: tutte le radici hanno $Re <\ 0$ tranne qualche radice con $Re = 0$ e molteplicità 1
  • Instabilità debole: almeno una radice ha $Re = 0$ e molteplicità superiore a 1, nessuna con $Re >\ 0$
  • Instabilità forte: almeno una radice ha $Re >\ 0$

Nell'instabilità debole non sono presenti termini di ordine esponenziale, termini presenti invece nell'instabilità forte. L'instabilità non necessariamente fa divergere la funzione all'infinito: la funzione può essere anche senza limite.

I poli reali corrispondono ad esponenziali, decrescenti se sono negativi, crescenti se sono positivi. I poli in 0 corrispondono a gradini, mentre i poli immaginari corrispondono a combinazioni di coseni e seni.

Relazione tra stabilità della risposta libera e stabilità BIBO

Sia

(2)
\begin{align} T(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{\bar B(s)}{\bar A(s)} \end{align}

dove $\bar B(s)$ e $\bar A(s)$ sono i polinomi semplificati.
La stabilità (asintotica) della risposta libera richiede che la parte reale delle radici di $A(s)$ sia negativa, mentre la stabilità BIBO richiede che la parte reale dei poli della funzione di trasferimento $T(s)$ sia negativa, ovvero la parte reale delle radici di $\bar A(s)$ sia negativa.

Stabilità della risposta forzata

La stabilità della risposta forzata non è equivalente a quello della risposta libera. Un sistema si dice stabile nella risposta forzata (o stabile alla BIBO) se la risposta forzata è limitata per qualsiasi ingresso limitato. BIBO è un acronimo per Bounded Input Bounded Output.

Definizione: Stabilità della risposta forzata

Un ingresso è limitato se esiste una costante $M_u$ tale che la sua funzione di ingresso risulta $\vert u(t) \vert <\ M_u$. Un sistema è stable BIBO se e solo se quando

(3)
\begin{align} \vert u(t) \vert <\ M_u \forall t >\ 0 \mbox{ allora } \vert y_f (t) \vert <\ M_y \end{align}

Teorema

Si dimostra che un sistema descritto da un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti è stabile BIBO se e solo se tutte le radici del denominatore di $T(s)$ hanno parte reale $<\ 0$. Queste radici sono dette poli della funzione di trasferimento.

Un valore $\bar s$ è definito come un polo se

(4)
\begin{align} \lim_{s \rightarrow \bar s} T(s) = \pm \infty \end{align}

mentre è definito come uno zero se

(5)
\begin{align} \lim_{s \rightarrow \bar s} T(s) = 0 \end{align}

Se tra $B(s)$ e $A(s)$ si possono effettuare semplificazioni, allora si indicano con $\bar B(s)$ e $\bar A(s)$ i polinomi semplificati e si ha

(6)
\begin{align} T(s) = \frac{\bar B(s)}{\bar A(s)} \end{align}

Esempio

Sia $B(s) = s-1$ e $A(s) = s^2 -1$, allora

(7)
\begin{align} T(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{1}{s+1} \end{align}

L'unica radice di $T(s)$ è il valore $s = -1$ perché è stata effettuata una semplificazione tra $B(s)$ e $A(s)$.

Poiché $\bar A(s) \subset A(s)$, allora $A(s) = \bar A(s) P(s)$ e $B(s) = \bar B(s) P(s)$, allora:

  • se è stabile asintoticamente nella risposta libera, allora il sistema è stabile BIBO
  • se è stabile BIBO, il sistema è stabile asintoticamente nella risposta libera solo se tutte le eventuali cancellazioni tra $A(s)$ e $B(s)$ comprendono solo radici con $Re <\ 0$.

Esempio

Si consideri un sistema con $B(s) = s+6$ e $A(s) = s (s+3)(s^2 + 2)(s + 4)$. Si vuole studiare la stabilità della risposta libera e della risposta forzata del sistema. Per verificare che il sistema è stabile nella risposta libera si controllano le radici di $A(s)$, che sono: $s = 0$; $s = -3$; $s = \pm \sqrt{2} \jmath$; $s = -4$.
Nessuna radice di $A(s)$ ha $Re >\ 0$, quindi non è presente una instabilità forte. Tuttavia, esiste almeno una radice con $Re = 0$, quindi non è neppure stabile asintoticamente. Poiché tutte le radici con $Re = 0$ hanno molteplicità pari a 1, il sistema è semplicemente stabile nella risposta libera, che è pari a:

(8)
\begin{align} Y_l (s) = \frac{I(s)}{A(s)} = \frac{I(s)}{s(s+3)(s^2 + 2)(s+4)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+3} + \frac{Cs + D}{s^2 + 2} + \frac{E}{s+4} \end{align}

effettuando l'antitrasformata si ottiene:

(9)
\begin{align} y_l (t) = \mathscr{L}^{-1} \left\lbrace Y_l (s) \right\rbrace = A 1(t) + B e^{-3t} 1(t) + C \cos (\sqrt{2} t) 1(t) + D \sin (\sqrt{2} t) 1(t) + E e^{-4t} 1(t) \end{align}

La risposta forzata del sistema è data analizzando la funzione di trasferimento. Non sono possibili semplificazioni.

(10)
\begin{align} T(s) = \frac{s+6}{s(s+3)(s^2 + 2)(s+4)} \end{align}

per studiare la stabilità BIBO si deve verificare che tutti i poli della funzione di trasferimento abbiano parte reale negativa. Il sistema non è stabile BIBO: non per tutti gli ingressi l'evoluzione dell'uscita rimane limitata. Per alcuni ingressi la risposta forzata diverge. Si può facilmente individuare un ingresso limitato che fa divergere il sistema considerando i poli problematici, come $s=0$, $s= \pm \sqrt{2} \jmath$. Ad esempio, considerando un ingresso pari a $u(s) = \frac{1}{s}$, corrispondente nel dominio del tempo ad un gradino $u(t) = 1(t)$, la risposta forzata del sistema divergerà:

(11)
\begin{align} Y_f(s) = T(s) U(s) = T(s) \frac{1}{s}= \frac{s+6}{s^2 (s+3)(s^2 + 2)(s+4)} \end{align}

infatti, il termine corrispondente al polo $s^2$ diverge poiché ha molteplicità pari a 2, e corrisponde nel tempo ad una rampa. Scegliendo come ingresso un polo con parte reale nulla e molteplicità pari a 1 si fa aumentare la sua molteplicità, provocando la divergenza dell'uscita. Scegliendo invece come ingresso $U(s) = \frac{1}{s^2 + 2}$ si ottiene la risposta forzata seguente:

(12)
\begin{align} Y_f(s) = T(s) U(s) = T(s) \frac{1}{s}= \frac{s+6}{s (s+3)(s^2 + 2)^2 (s+4)} \end{align}

antitrasformando si ha:

(13)
\begin{align} y_f (t) = \mathscr{L}^{-1} \left\lbrace Y_f(s) \right\rbrace = A' t \cos (\sqrt{2} t) 1(t) + B' t \sin (\sqrt{2} t) 1(t) + \dots \end{align}

Questi due termini sono rampe che moltiplicano una funzione sinusoidale, quindi divergono.

I sistemi lineari tempo invarianti (LTI) descritti dall'equazione differenziale, permettono di ricavare immediatamente la funzione di trasferimento $T(s)$. Tuttavia, conoscendo la funzione di trasferimento, non è possibile ricavare univocamente l'equazione differenziale. La funzione di trasferimento $T(s)$ fornisce informazioni sulla risposta forzata del sistema ma non sulla risposta libera.
Data

(14)
\begin{align} T(s) = \frac{\bar B(s)}{\bar A(s)} \end{align}

si può ottenere una equazione differenziale in questo modo, ponendo:

(15)
\begin{align} \bar A(D) y = \bar B(D) u \end{align}

Solo l'equazione differenziale originale contiene tutte le informazioni sull'uscita del sistema, mentre la rappresentazione del sistema tramite la funzione di trasferimento è completa solo se non sono avvenute cancellazioni.

Sistemi con molteplici ingressi e uscite

Si considera un sistema LTI con ingressi $u_1, u_2, \dots, u_m$ e uscite $y_1, y_2, \dots, y_q$. Per il principio di sovrapposizione degli effetti l'uscita $y_1$, che dipende da tutti gli ingressi $u_1, u_2, \dots, u_m$, equivale alla somma delle uscite dovute ai singoli ingressi. Si possono calcolare le uscite dovute ad un singolo ingresso in questo modo:

(16)
\begin{eqnarray} u_2, \dots, u_m = 0 \mbox{ e } u_1 \ne 0 \mbox{ generano l'uscita } y_{11} (t) \\ u_1, u_3, \dots, u_m = 0 \mbox{ e } u_2 \ne 0 \mbox{ generano l'uscita } y_{12} (t) \\ \dots \\ u_1, \dots, u_{m-1} = 0 \mbox{ e } u_m \ne 0 \mbox{ generano l'uscita } y_{1m} (t) \\ \end{eqnarray}

Quindi $y_{11}$ è l'uscita generata dal solo ingresso $u_1$, e così via. L'uscita completa è data dalla somma delle uscite generate dai singoli ingressi:

(17)
\begin{align} y_1 = y_{11} + y_{12} + \dots + y_{1m} \end{align}

Questo principio può essere applicato a tutte le uscite, indicando con $T_{ij}$ la funzione di trasferimento che lega l'uscita $i$ all'ingresso $y$. Quindi la risposta forzata dell'uscita $i$ è:

(18)
\begin{align} Y_{fi} (s) = T_{i1}(s) U_1(s) + \dots + T_{im}(s) U_m(s) = \sum_{k=1}^{m} T_{ik} U_k (s) \end{align}

Il vettore $\bar Y(s)$, di dimensione $q$, rappresenta l'uscita del sistema ed è dato da:

(19)
\begin{align} \bar Y(s) = \left[ \begin{array}{c} Y_1 (s) \\ Y_2 (s) \\ \dots \\ Y_q (s) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} T_{11}(s) & T_{12}(s) & \dots & T_{1m}(s) \\ T_{21}(s) & T_{22}(s) & \dots & T_{2m}(s) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ T_{q1}(s) & T_{q2}(s) & \dots & T_{qm}(s) \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} U_1(s) \\ U_2(s) \\ \dots \\ U_m(s) \end{array} \right] = \left[ T(s) \right] \bar U(s) \end{align}

La matrice $\left[ T \right]$ è detta matrice di trasferimento.

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