Teoria dei Sistemi

Introduzione

Sistemi dinamici

Un sistema dinamico è un'insieme o un'aggregato di elementi in cui si contraddistinguono delle quantità che evolvono nel tempo. Alcune di queste quantità sono legate ad altre da corrispondenze di causa-effetto.
Le quantità possono essere classificate in:

  • ingressi: variabili indipendenti che non sono influenzate e modificano il sistema (Cause)
  • uscite: variabili dipendenti dagli ingressi (Effetti)

Gli ingressi possono essere a loro volta suddivisi in

  • ingressi manipolabili, detti anche segnali di controllo
  • ingressi non manipolabili, detti anche disturbi. Non sono prevedibili e non sono controllabili direttamente
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Fig 1.1 Sistema

Esempio

Si considera un ascensore di massa M sottoposto alla forza peso P e alla trazione T di un motore (Fig 1.2).

Si ha:

(1)
\begin{align} M a = \Sigma \text{ forze } = P + T = F \end{align}
(2)
\begin{equation} M v' = F \end{equation}
(3)
\begin{align} v' = \frac{F}{M} \end{align}

quindi

(4)
\begin{align} v(t) = v(0) + \frac{1}{M}\int_0^t F(\tau) d\tau \end{align}
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Fig 1.2 Esempio: forze che agiscono su un ascensore

Questa legge descrive l'evoluzione del sistema ed è composta da due termini:

  1. il termine $v(0)$ che è una quantità indipendente dagli ingressi e viene detta condizione iniziale
  2. il termine $\frac{1}{M}\int_0^t F(\tau) d\tau$ che dipende dagli ingressi e non dalle condizioni iniziali

Se tutte le forze esterne fossero nulle, ovvero il sistema avesse ingressi nulli, allora

(5)
\begin{equation} v(t) = v(0) \end{equation}

questa uscita viene detta risposta ad ingresso nullo. Mentre se le condizioni iniziali fossero nulle, ovvero l'ascensore fosse inizialmente fermo, allora l'uscita

(6)
\begin{align} \frac{1}{M}\int_0^t F(\tau) d\tau \end{align}

viene detta risposta a condizioni iniziali nulle
E' possibile studiare un sistema calcolando la risposta a ingresso nullo e la risposta a condizioni iniziali nulli, e sommando questi due contributi. Gli ingressi e le condizioni iniziali governano l'uscita e vengono detti complessivamente cause.
La risposta a condizioni iniziali nulle è:

(7)
\begin{align} v(t) = \frac{1}{M}\int_0^t F(\tau) d\tau = \frac{1}{M}\int_0^t [P(\tau) + T(\tau)] d\tau \end{align}

essendo l' integrale un operatore lineare, allora si può spezzare in due parti

(8)
\begin{align} v(t) = \frac{1}{M}\int_0^t P(\tau) d\tau + \frac{1}{M}\int_0^t T(\tau) d\tau \end{align}

il primo contributo corrisponde al comportamento del sistema quanto $T(\tau)$ è nulla, mentre il secondo corrisponde alla condizione $P(\tau)$ nulla.
Si può perciò considerare singolarmente ogni ingresso considerando gli altri nulli e sommando tutti i contributi per ricavare il comportamento che ha il sistema quando è sottoposto a tutti gli ingressi.
Questo principio, tipico dei sistemi lineari, viene detto Principio di sovrapposizione degli effetti.

Descrizione in forma di equazione differenziale

Sia S un sistema lineare tempo-invariante (tali sistemi sono detti sistemi LTI) a tempo continuo. Un tale sistema può essere descritto dalla seguente equazione differenziale lineare a coefficienti costanti:

(9)
\begin{align} y^{(n)} + a_{n-1}y^{n-1} + \ldots + a_1 y^{(1)} + a_0 y = b_m u^{(m)} + b_{m-1} u^{(m-1)} + \ldots + b_1 u^{(1)} + b_0 u \end{align}

dove con $y^{(i)}$ si intende $\frac{d^{(i)}y(t)}{d t^i}$ e dove l'ingresso è indicato con la funzione $u(t)$ e l'uscita con la funzione $y(t)$ (Fig. 1.3).

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Fig 1.3 Sistema con ingresso singolo $u(t)$ ed uscita singola $y(t)$

Applicando la trasformata di Laplace all'equazione si ottiene, essendo

(10)
\begin{align} \mathscr{L} \left\{ f(t) \right\} = F(s) \end{align}
(11)
\begin{align} \mathscr{L} \left\{ \frac{d f(t)}{dt} \right\} = s F(s) - f(0^-) \end{align}

allora la soluzione dell'equazione è la seguente:

(12)
\begin{eqnarray} s^n Y(s) - s^{n-1}y(0^-) - \ldots - y^{(n-1)}(0^-) + a_{n-1} \left[ s^{n-1} Y(s) + s^{n-2} y(0^-) - \ldots - y^{(n-2)}(0^-) \right] + \ldots + a_1 \left[ s Y(s) - y(0^-) \right] = \\ = b_m \left[ s^m U(s) - s^{m-1}u(0^-) - \ldots - u^{(m-1)}(0^-) \right] + \ldots + b_1 \left[ sU(s) - u(0^-) \right] + b_0 U(s) \end{eqnarray}

raccogliendo $Y(s)$ e $U(s)$ si ha:

(13)
\begin{align} \left[ s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \ldots + a_0 \right] Y(s) - I_y (s) = \left[ b_m s^m + \ldots + b_0 \right] U(s) - I_u(s) \end{align}

dove $I_y(s)$ è un polinomio di grado massimo pari a (n-1) e $I_u(s)$ pari a (m-1) con coefficienti che dipendono dalle condizioni iniziali $y(0^-), \ldots, y^{n-1}(0^-)$.
Si può riscrivere l'espressione precedente come:

(14)
\begin{equation} A(s) Y(s) - I_y(s) = B(s) U(s) - I_u(s) \end{equation}
(15)
\begin{align} Y(s) = \frac{B(s)}{A(s)} U(s) + \frac{I(s)}{A(s)} \end{align}

dove $I(s) = I_y(s) - I_u(s)$, e il grado massimo di $I(s)$ è $max(n, m)-1$
Si può scomporre $Y(s)$ in due contributi:

(16)
\begin{equation} Y(s) = Y_f(s) + Y_l(s) \end{equation}

ponendo $Y_f(s) = \frac{B(s)}{A(s)} U(s)$ e $Y_l(s) = \frac{I(s)}{A(s)}$. Essendo la trasformata di Laplace un operatore lineare, allora antitrasformando si ottiene:

(17)
\begin{align} \mathscr{L}^{-1} \left \lbrace Y(s) \right \rbrace = y(t) = y_f(t) + y_l(t) \end{align}
  • $y_f(t)$ è detta risposta forzata del sistema, ovvero la risposta allo stato zero, a condizioni iniziali nulle
  • $y_l(t)$ è detta risposta libera del sistema, ovvero la risposta ad ingresso nullo, che si ottiene applicando un ingresso nullo ed è dovuta solo alle condizioni iniziali

La trasformata della risposta forzata è:

(18)
\begin{align} Y_f(s) = \mathscr{L} \left \lbrace y_f(t) \right \rbrace = \frac{B(s)}{A(s)} U(s) \end{align}

Si definisce funzione di trasferimento, indicata con $T(s)$ la quantità:

(19)
\begin{align} T(s) \triangleq \frac{B(s)}{A(s)} \end{align}

e l'equazione precedente diventa

(20)
\begin{equation} Y_f(s) = T(s) U(s) \end{equation}

Si suppone di usare come ingresso un impulso, $u(t) = \delta(t)$, con condizioni iniziali nulle. Allora la risposta forzata sarà, essendo $\mathscr{L} \left \lbrace \delta(t) \right \rbrace = 1$:

(21)
\begin{equation} Y_f(s) = T(s) 1 \end{equation}

La risposta forzata è pari alla funzione di trasferimento del sistema quando si applica un ingresso impulsivo.

La risposta completa si può ottenere usando la funzione di trasferimento e opportuni ingressi. Essendo infatti

(22)
\begin{align} Y(s) = T(s) U(s) + \frac{I(s)}{A(s)} = T(s) U(s) + \frac{I(s)}{A(s)} 1 \end{align}

Allora si può considerare un sistema costituito da una funzione di trasferimento $T(s)$ la cui uscita ($Y_f(s)$) viene sommata all'uscita di un secondo sistema ($Y_l(s)$). Questo secondo sistema è costituito da una funzione di trasferimento pari a $\frac{I(s)}{A(s)}$ e riceve in ingresso un impulso.

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Fig 1.4 Risposta completa di un sistema LTI

Sistemi propri ed impropri

L'equazione differenziale a coefficienti costanti (9) che descrive un sistema lineare determina, a seconda dei gradi n e m dei polinomi, il tipo di sistema lineare:

Sistema strettamente proprio

Se $m <\ n$ oppure $m \leq n-1$ allora si dice che il sistema è strettamente proprio.

Sistema semplicemente proprio

Se $m = n$ allora si dice che il sistema è semplicemente proprio

Sistema improprio

Se $m >\ n$ allora si dice che il sistema è improprio

Sistema strettamente proprio

Se $m <\ n$ oppure $m \leq n-1$ allora il sistema è strettamente proprio. La funzione di trasferimento è $T(s) = \frac{B(s)}{A(s)}$, quindi

(23)
\begin{equation} Y_f (s) = T(s) \end{equation}
(24)
\begin{align} y_f(s) = \mathscr{L}^{-1} \left\lbrace T(s) \right\rbrace = h(t) \end{align}

$h(t)$ è una funzione razionale propria, infatti il grado del numeratore è strettamente inferiore a quello del denominatore $deg B <\ deg A$, e quindi può essere sviluppata in fratti semplici.
La risposta forzata all'impulso non contiene impulsi nell'origine (e neanche altrove). La risposta libera è

(25)
\begin{align} \mathscr{L}^{-1} \left\lbrace \frac{I(s)}{A(s)} \right\rbrace \end{align}

dove $deg_{max} I = max(n,m)-1$, ed essendo $n >\ m$ si ha $deg_{max} I < n-1$. Essendo il grado del numeratore minore di quello del denominatore, neppure la risposta libera contiene impulsi in $t=0$ (e neanche altrove).

Sistema semplicemente proprio

Se $m = n$ il sistema è semplicemente proprio. La risposta forzata è $Y_f (s) = T(s)$, ma non si può scomporre $T(s)$ in fratti semplici:

(26)
\begin{align} \mathscr{L} \left\lbrace h(t) \right\rbrace = T(s) = \frac{b_n s^n + \dots}{s^n + \dots} = b_n + \frac{R(s)}{A(s)} \end{align}

dove $b_n \ne 0$ e $deg R(s) <\ n$ a causa della divisione:

(27)
\begin{align} \mathscr{L}^{-1} \left\lbrace b_n + \frac{R(s)}{A(s)} \right\rbrace = b_n \delta (t) + \mathscr{L}^{-1} \left\lbrace \frac{R(s)}{A(s)} \right\rbrace \end{align}

è presente un impulso nella risposta forzata. Il sistema risponde ad un impulso in ingresso con un altro impulso.
Ad esempio, se si applica ad un filo un ingresso impulsivo, in uscita si otterrà una risposta impulsivo poichè $y = u$.

La risposta libera è:

(28)
\begin{align} Y_l (s) = \frac{I(s)}{A(s)} \end{align}

dove $deg I(s) \leq max(n, m) - 1 = n - 1$ e $deg A(s) = n$. Il grado del numeratore è minore rispetto al grado del denominatore, quindi $y_l (t)$ non contiene impulsi nell'origine.

Sistema improprio

Se $m >\ n$ il sistema è improprio. La funzione di trasferimento è:

(29)
\begin{align} h(t) = \mathscr{L}^{-1} \left\lbrace b_n s^{m-n} + k_1 s^{m-n-1} + \dots + k + \frac{R(s)}{A(s)} \right\rbrace \end{align}

riordinando i termini si ha:

(30)
\begin{align} h(t) = \mathscr{L}^{-1} \left\lbrace P_{m-n} s^{m-n} + \dots + P_1 s + P_0 + \frac{R(s)}{A(s)} \right\rbrace \end{align}

Il termine $\mathscr{L}^{-1} \left\lbrace \frac{R(s)}{A(s)} \right\rbrace$ non contiene impulsi, mentre $\mathscr{L}^{-1} \left\lbrace P_0 \right\rbrace$ è un impulso di ordine 0, $\mathscr{L}^{-1} \left\lbrace P_1 s \right\rbrace$ è un impulso di ordine 1, e così via. Quindi

(31)
\begin{align} h(t) = P_{m-n} \delta^{m-n} (t) + \dots + P_1 \delta_1 (t) + P_0 \delta_0 (t) + \mbox{termini senza impulsi} \end{align}

Il sistema risponde ad un impulso in ingresso con un impulso di ordine superiore. Nella risposta libera si ha:

(32)
\begin{align} y_l (t) = \mathscr{L}^{-1} \left\lbrace \frac{I(s)}{A(s)} \right\rbrace \end{align}

dove $deg I(s)$ può essere $\geq n$, infatti $m >\ n$, quindi $max(m,n)-1 = m-1 \geq n$. Anche nella risposta libera possono essere presenti impulsi. In altre parole, esistono delle condizioni iniziali del sistema tali da farlo evolvere con impulsi. Un sistema di questo tipo è detto anche anticipativo.

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