Campi Elettromagnetici

Capitolo 7. Linee di trasmissione

Introduzione

Una linea di trasmissione è costituita da una coppia di conduttori rettilinei immersi in un dielettrico. Nel caso in cui il conduttore sia perfetto e il dielettrico ideale, allora si dice che la linea di trasmissione è ideale. In generale le linee di trasmissione connettono un generatore ad un carico. Si può dimostrare che il segnale del generatore si propaga lungo la linea come un campo elettromagnetico di tipo TEM, con i vettori $\bar E$ e $\bar H$ ortogonali tra loro e ortogonali alla direzione di propagazione.

Quando il conduttore è perfetto, il campo $\bar E$ è sempre perpendicolare alle superfici dei conduttori mentre $\bar H$ è sempre tangente. Dall'equazione di continuità appare una corrente superficiale $\bar J_s$, che scorre lungo la direzione di propagazione. La corrente totale $i$ che scorre lungo il conduttore è data dal flusso di $\bar J_s$ attraverso una superficie perpendicolare alla direzione di propagazione. Non essendo presente alcun accumulo di cariche, sul secondo conduttore scorrerà una corrente $-i$.

Una linea è detta uniforme se la sua sezione non cambia lungo la linea.

Alcuni esempi di linee sono i cavi coassiali (Fig 7.1) e le microstrisce (Fig 7.2). Un cavo coassiale è costituito da due conduttori cilindrici concentrici tra cui viene posto un dielettrico. Se si ipotizza il conduttore come perfetto e il dielettrico come ideale, allora il cavo coassiale è una linea ideale. Una linea bifilare è costituita da due conduttori uniformi cilindrici, ed è impiegata nella telefonia.

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Fig 7.1 Cavo coassiale


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Fig 7.2 Microstriscia

Si considera una sezione di una generica linea di trasmissione, e un circuito ABCD ad una certa quota z tale che A e D sono due punti sul primo conduttore e B e C due punti sul secondo conduttore (Fig 7.3). Si può applicare alla linea chiusa ABCD le equazioni di Maxwell, in particolare quella relativa alla circuitazione del campo elettrico.

Essendo tuttavia il campo $\bar H$ nullo lungo z l'equazione diventa:

(1)
\begin{align} \oint_{ABCD} \bar E \circ d \bar l = 0 \end{align}

Nei tratti BC e DA della linea che giacciono sui conduttori si ha che le quantità $d \bar l$ e $\bar E$ sono perpendicolari tra loro, quindi il contributo lungo questi tratti è nullo. L'integrale si riduce a:

(2)
\begin{align} \int_A^B \bar E \circ d \bar l + \int_C^D \bar E \circ d \bar l = 0 \end{align}

quindi, invertendo gli estremi di integrazione del secondo termine si ha:

(3)
\begin{align} \int_A^B \bar E \circ d \bar l = \int_D^C \bar E \circ d \bar l = V(z, t) \end{align}

La quantità $V(z, t)$ è la tensione presente tra il punto A e il punto B, che risulta uguale e contraria a quella tra il punto C e il punto D. In generale la tensione dipende dalla posizione z e dal tempo.

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Fig 7.3 Circuitazione del campo elettrico


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Fig 7.4 Circuitazione del campo magnetico

Sia l una linea chiusa che circonda un solo conduttore (Fig 7.4). La circuitazione di $\bar H$ attraverso l è, in base all'equazione di Maxwell

(4)
\begin{align} \oint_l \bar H \circ d \bar l = i(z, t) + \frac{\partial}{\partial t} \int_S \bar D \circ \hat n dS \end{align}

La circuitazione è pari al flusso della densità di corrente attraverso S che è uguale a i. Inoltre, il campo E giace nel piano trasversale e il flusso attraverso S è nullo.

Si calcola ora la circuitazione di $\bar E$ su una linea EFGH tale che E è un punto sul primo conduttore ad una quota $z + \Delta z$, F è un punto sul secondo conduttore alla stessa quota. I punti G e H sono sui due conduttori alla quota z (Fig 7.5). Sia S la superficie il cui contorno è la linea EFGH, quindi

(5)
\begin{align} \oint_{EFGH} \bar E \circ d \bar l = - \frac{\partial}{\partial t} \int_S \bar B \circ \hat n dS \end{align}

Nei tratti FG e HE si ha circuitazione nulla poiché $d \bar l$ è parallelo al conduttore, mentre il campo $\bar E$ è perpendicolare, quindi si ha:

(6)
\begin{align} \int_E^F \bar E \circ d \bar l + \int_G^H \bar E \circ d \bar l = - \frac{\partial}{\partial t} \int_S \bar B \circ \hat n dS \end{align}

Il primo integrale sulla parte sinistra dell'equazione costituisce la tensione V alla quota $z + \Delta z$, ovvero $V(z + \Delta z, t)$, mentre il secondo integrale rappresenta la tensione alla quota z, ovvero $V(z, t)$, quindi si ha:

(7)
\begin{align} V(z + \Delta z, t) - V(z, t) = - \frac{\partial}{\partial t} \int_S \bar B \circ \hat n dS \end{align}
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Fig 7.5 Circuitazione del campo elettrico


Si definisce il flusso concatenato per unità di lunghezza la quantità(8)
\begin{align} \Psi(z, t) \triangleq \frac{\int_S \bar B \circ \hat n dS}{\Delta z} \end{align}

Si può dividere ambo i membri per $\Delta z$ e considerare il limite per $\Delta z \rightarrow 0$, ottenendo

(9)
\begin{align} \frac{\partial V(z, t)}{\partial z} = - \frac{\partial \Psi(z, t)}{\partial t} \end{align}

Si definisce induttanza per unità di lunghezza, indicata con $L^*$ la quantità

(10)
\begin{eqnarray} \Psi = L^* i \\ L^* = \frac{\Psi}{i} \end{eqnarray}

Nelle linee di trasmissione questa induttanza è distribuita lungo tutta la linea. Sostituendo si ottiene

(11)
\begin{align} \frac{\partial V(z, t)}{\partial z} = - L^* \frac{\partial i(z, t)}{\partial t} \end{align}

Si considera un conduttore e una cilindro che lo circonda a base circolare di lunghezza $\Delta z$ (Fig 7.6). Si considera l'equazione di continuità in forma locale e la si integra sul volume V totale racchiuso dal cilindro:

(12)
\begin{align} \int_V (\nabla \circ \bar J_e) dV = - \frac{\partial}{\partial t} \int_V \rho_E dV \end{align}
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Fig 7.6 Applicazione della legge di conservazione della carica

Per il teorema della divergenza, l'integrale di volume a primo membro è pari al flusso del campo sulla superficie chiusa che racchiude V. Questa superficie chiusa è costituita da una superficie laterale e due superfici di base.

(13)
\begin{align} \int_V (\nabla \circ \bar J_e) dV = \oint_S \bar J_e \circ \hat n dS = \int_{S1} \bar J_e \circ \hat n dS + \int_{S2} \bar J_e \circ \hat n dS + \int_{Sl} \bar J_e \circ \hat n dS \end{align}

L'integrale relativo alla base $S_1$ è pari alla corrente $i(z, t)$ cambiata di segno a causa del verso del versore $\hat n$, mentre quello relativo alla base $S_2$ è pari alla corrente $i(z + \Delta z, t)$. L'integrale relativo alla superficie lateriale è nullo. Sostituendo si ha:

(14)
\begin{align} i(z + \Delta z, t) - i(z, t) = - \frac{\partial}{\partial t} \int_V \rho_E dV \end{align}

Si definisce la carica totale per unità di lunghezza la quantità

(15)
\begin{align} Q(z, t) \triangleq \frac{\int_V \rho_E dV}{\Delta z} \end{align}

Dividendo l'equazione precedente per $\Delta z$ e considerando il limite per $\Delta z \rightarrow 0$ si ottiene

(16)
\begin{align} \frac{i(z + \Delta z, t) - i(z, t)}{\Delta z} = - \frac{\partial}{\partial t} Q(z, t) \end{align}

considerando il limite per $\Delta z \rightarrow 0$ si ha:

(17)
\begin{align} \frac{\partial i(z, t)}{\partial z} = - \frac{\partial Q(z, t)}{\partial t} \end{align}

Si definisce capacità per unità di lunghezza, indicata con $C^*$ la quantità

(18)
\begin{eqnarray} Q = C^* V \\ C^* = \frac{Q}{V} \end{eqnarray}

Sostituendo si ottiene

(19)
\begin{align} \frac{\partial i(z, t)}{\partial z} = - C^* \frac{\partial V(z, t)}{\partial t} \end{align}

Lungo una linea di trasmissione si possono quindi definire tensioni e correnti che sono legate dalle precedenti equazioni (11, 19), che prendono il nome di equazioni dei telegrafisti.

Esiste un'importante distinzione tra i circuiti a parametri concetrati e i circuiti a parametri distribuiti. Un condensatore a parametri concentrati è costituito da due superfici con cariche uguali e opposte situate sulle armature, tra cui è interposto un dielettrico. La capacità $C$ è definita come $Q = C V$.

Analogamente, un induttore a parametri concentrati è costituito da un avvolgimento su cui scorre una corrente $I$ che genera una campo $\bar B$.

In entrambi i casi si ipotizza che gli effetti elettromagnetici siano concentrati all'interno della superficie limite del componente.
Nelle linee di trasmissione sono presenti due conduttori separati da un dielettrico, che generano un effetto capacitivo ed induttivo distribuito sull'intera linea.

Soluzione delle equazioni dei telegrafisti

Le equazioni dei telegrafisti legano le tensioni e le correnti:

(20)
\begin{eqnarray} \frac{\partial V(z, t)}{\partial z} = - L^* \frac{\partial i(z, t)}{\partial t} \\ \frac{\partial i(z, t)}{\partial z} = - C^* \frac{\partial V(z, t)}{\partial t} \end{eqnarray}

Si effettua la derivata parziale della prima equazione rispetto a z, considerando $L^*$ costante:

(21)
\begin{align} \frac{\partial^2 V(z, t)}{\partial z^2} = - L^* \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial i}{\partial t} = - L^* \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial i}{\partial z} \end{align}

Si sostituisce la seconda equazione nell'ultimo termine, ottenendo:

(22)
\begin{align} \frac{\partial^2 V(z, t)}{\partial z^2} = L^* C^* \frac{\partial V(z, t)}{\partial t^2} \end{align}

Si può notare che la struttura di questa equazione è simile a quella dell'equazione delle onde (), quindi la tensione si propagherà lungo la linea di trasmissione sotto forma di un'onda che parte dal generatore e si propaga verso il carico.

Effettuando la derivata parziale rispetto a z della seconda equazione si ottiene

(23)
\begin{align} \frac{\partial^2 i(z, t)}{\partial z^2} = - C^* \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial V}{\partial t} = - C^* \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial V}{\partial z} \end{align}

sostituendo la prima equazione si ottiene

(24)
\begin{align} \frac{\partial^2 i(z, t)}{\partial z^2} = L^* C^* \frac{\partial i(z, t)}{\partial t^2} \end{align}

che è una equazione analoga a quella per la tensione riferita in questo caso alla corrente. Siccome la corrente soddisfa una equazione delle onde, anch'essa si comporterà come un'onda che si propaga dal generatore verso il carico.

Regime sinusoidale stazionario

In regime stazionario si possono associare i fasori $V(z)$ e $I(z)$ alle quantità che rappresentano la tensione e la corrente. Le equazioni delle onde per la tensione e la corrente diventano, in regime stazionario,

(25)
\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 V(z)}{\partial z^2} = L^* C^* (- \omega^2) V(z) \\ \frac{\partial^2 I(z)}{\partial z^2} = L^* C^* (- \omega^2) I(z) \end{eqnarray}

La costante $L^* C^* \omega^2$ viene detta costante di propagazione ed indicata con $\gamma^2$, quindi

(26)
\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 V(z)}{\partial z^2} + \gamma^2 V(z) = 0 \\ \frac{\partial^2 I(z)}{\partial z^2} + \gamma^2 I(z) = 0 \end{eqnarray}

Sono due equazioni differenziali del secondo ordine, la cui soluzione è

(27)
\begin{align} V(z) = V_1 e^{- \jmath \gamma z} + V_2 e^{\jmath \gamma z} \end{align}

In regime sinusoidale, l'equazione dei telegrafisti relativa alla corrente (11) diventa:

(28)
\begin{align} \frac{\partial V}{\partial z} = - L^* (\jmath \omega) I(z) \end{align}
(29)
\begin{align} I(z) = - \frac{1}{\jmath \omega L^*} \frac{\partial V}{\partial z} \end{align}

sostituendo il valore di $V(z)$ si ottiene:

(30)
\begin{align} I(z) = - \frac{1}{\jmath \omega L^*} [ V_1 (-\jmath \gamma e^{-\jmath \gamma z}) + V_2 (\jmath \gamma e^{\jmath \gamma z}) ] \end{align}

svolgendo i calcoli ed effettuando le semplificazioni si ottiene

(31)
\begin{align} I(z) = \frac{V_1}{\sqrt{\frac{L^*}{C^*}}} e^{-\jmath \gamma z} - \frac{V_2}{\sqrt{\frac{L^*}{C^*}}} e^{\jmath \gamma z} \end{align}

La quantità $Z_c = \sqrt{ \frac{ L^* }{ C^* }}$ dimensionalmente si misura in $[\Omega]$ e viene detta impedenza caratteristica della linea, quindi l'equazione precedente può essere riscritta come:

(32)
\begin{align} I(z) = \frac{V_1}{Z_c} e^{-\jmath \gamma z} - \frac{V_2}{Z_c} e^{\jmath \gamma z} \end{align}

Come per le onde elettromagnetiche, si presentano due termini. Uno è relativo ad un'onda progressiva e uno ad un'onda regressiva.

L'impedenza di ingresso di una linea di trasmissione, indicata con $Z_{in}$ è l'impedenza che si vede ai morsetti di ingresso ovvero il rapporto tra tensione e corrente. Fissato un asse z, allora si ha:

(33)
\begin{align} Z_{in} \triangleq \frac{V(z=0)}{I(z=0)} \end{align}

Esempio

Data una linea di trasmissione infinita, non esiste onda riflessa, quindi in $z=0$ si ha $V(z=0) = V_1$ e la corrente è $I(z = 0) = \frac{V_1}{Z_c}$, quindi

(34)
\begin{align} Z_{in} = \frac{V_1}{\frac{V_1}{Z_c}} = Z_c \end{align}

L'impedenza di ingresso è pari all'impedenza caratteristica di una linea se questa fosse infinita.

Esempio

Dato un carico $Z_L$, connesso ad una linea di trasmissione di lunghezza finita L, allora fissando un asse z con origine sul carico si ha:

(35)
\begin{align} Z_{in} \triangleq \frac{V(z=-L)}{I(z=-L)} = \frac{V_1 e^{\jmath \gamma L} + V_2 e^{-\jmath \gamma L}}{V_1 e^{\jmath \gamma L} + V_2 e^{-\jmath \gamma L}} Z_C \end{align}

Applicando la formula di Eulero si ha:

(36)
\begin{align} = Z_C \frac{(V_1 + V_2) \cos (\gamma L) + (V_1 - V_2)\jmath \sin (\gamma L)}{(V_1 - V_2) \cos (\gamma L) + (V_1 + V_2)\jmath \sin (\gamma L)} \end{align}

L'impedenza di carico $Z_L$ è:

(37)
\begin{align} Z_L = \frac{V(z=0)}{I(z=0)} = \frac{V_1 + V_2}{V_1 - V_2} Z_C \end{align}

Dividendo il numeratore e il denominatore per $V_1 - V_2$ e moltiplicando per $Z_C$ l'equazione dell'impedenza di ingresso diventa:

(38)
\begin{align} Z_{in} = Z_C \frac{Z_L \cos (\gamma L) + \jmath Z_C \sin (\gamma L)}{Z_C \cos (\gamma L) + \jmath Z_L \sin (\gamma L)} \end{align}

questa espressione fornisce l'impedenza di ingresso $Z_{in}$ dato il carico $Z_L$, l'impedenza caratteristica $Z_C$ e la lunghezza.

Velocità di propagazione

Nell'equazione delle onde si ha $k = \omega \sqrt{\mu \epsilon}$ e $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$. La velocità di propagazione delle onde in una linea di trasmissione si ottiene considerando l'analoga equazione delle onde per le linee:

(39)
\begin{align} v = \frac{1}{\sqrt{L^* C^*}} \end{align}

quindi la costante $\gamma = \omega \sqrt{L^* C^*}$ si può scrivere come:

(40)
\begin{align} \gamma = \frac{\omega}{v} = \frac{2 \pi f}{v} = \frac{2 \pi}{vT} = \frac{2 \pi}{\lambda} \end{align}

la lunghezza d'onda $\lambda$ è definita come la distanza percorsa dall'onda in un periodo di tempo, quindi $\lambda = vT$.

Esempio

Si consideri una linea con $Z_C = 50 \Omega$ e un carico $Z_L = 100 \Omega$. Si suppone che la linea abbia lunghezza $L = \frac{\lambda}{4}$. Quanto vale l'impedenza d'ingresso $Z_{in}$?

Applicando la formula si ottiene:

(41)
\begin{align} \gamma L = \frac{2 \pi}{\lambda} \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2} \end{align}

Quindi

(42)
\begin{align} Z_{in} = 50 \frac{100 \cos \frac{\pi}{2}+ 50 \jmath \sin \frac{\pi}{2}}{50 \cos \frac{\pi}{2}+ \jmath 100 \sin \frac{\pi}{2}} = 25 \Omega \end{align}

Trasmissione e riflessione

La quantità $\frac{V_2}{V_1}$, che rappresenta l'ampiezza dell'onda riflessa divisa l'ampliezza di quella incidente, viene indicata con $\rho$ ed è chiamata Coefficiente di riflessione. In generale $\rho \in C$ e $0 \leq \vert \rho \vert \leq 1$. Se $\rho = 0$ non esiste onda riflessa, mentre se $\rho = 1$ l'onda incidente viene completamente riflessa.

Questo coefficiente di riflessione è simile al coefficiente $\Gamma$ utilizzato nelle onde piane. Nella pratica si preferisce non avere riflessioni nelle linee: oltre a dispendi di energia le riflessione possono causare problemi tecnici.

In una linea di trasmissione la tensione e la corrente sono:

(43)
\begin{align} V(z) = V_1 e^{-\jmath \gamma z} + V_2 e^{\jmath \gamma z} \end{align}
(44)
\begin{align} i(z) = \frac{V_1}{Z_C} e^{-\jmath \gamma z} - \frac{V_2}{Z_C} e^{-\jmath \gamma z} \end{align}

$Z_L$ è il rapporto tra la tensione e la corrente del carico, ovvero:

(45)
\begin{align} Z_L = \frac{V(z=0)}{I(z=0)} \end{align}

si può scrivere, sostituendo $V(z=0) = V_1 + V_2$ e $i(z=0) = \frac{V_1}{Z_C} - \frac{V_2}{Z_C}$, quindi

(46)
\begin{align} Z_L = Z_C \frac{V_1 + V_2}{Z_1 - V_2} \end{align}

dividendo per $V_1$ si ottiene

(47)
\begin{align} Z_L = Z_C \frac{1 + \frac{V_2}{V_1}}{1 - \frac{V_2}{V_1}} = Z_C \frac{1 + \rho}{1 - \rho} \end{align}

Si può ottenere una espressione del coefficiente di riflessione data l'impedenza della linea $Z_C$ e del carico $Z_L$:

(48)
\begin{align} Z_L (1 - \rho) = Z_C (1 + \rho) \end{align}
(49)
\begin{align} Z_L - \rho Z_L = Z_C + \rho Z_C \end{align}
(50)
\begin{align} \rho (Z_C + Z_L) = Z_L + \rho Z_C \end{align}
(51)
\begin{align} \rho = \frac{Z_L - Z_C}{Z_L + Z_C} \end{align}

Casi notevoli

Linea chiusa su un corto circuito

L'impedenza del carico è $Z_L = 0$. Il coefficiente di riflessione è: $\rho = \frac{-Z_C}{Z_L} = -1$. Si verifica una riflessione totale, con un'onda riflessa con la stessa ampiezza dell'onda incidente. C'è uno sfasamento di $\pi$.

Linea chiusa su un corto circuito

L'impedenza del carico è $Z_L \rightarrow \infty$, quindi $\frac{1}{Z_L} = 0$. Il coefficiente di riflessione è pari a:

(52)
\begin{align} \rho = \frac{Z_L - Z_C}{Z_L + Z_C} = \frac{1 - \frac{Z_C}{Z_L}}{1 + \frac{Z_C}{Z_L}} = 1 \end{align}

Si verifica una riflessione totale senza sfasamento.

Linea adattata

Una linea è detta adattata con una impedenza di carico pari all'impedenza caratteristica della linea. Quindi, se $Z_C = Z_L$ si ha:

(53)
\begin{align} \rho = \frac{Z_L - Z_C}{Z_L + Z_C} = 0 \end{align}

Esempio

Si considera una linea con $Z_L = 100 \Omega$ e con un carico pari a $Z_C = 50 \Omega$. Il coefficiente di riflessione è:

(54)
\begin{align} \rho = \frac{100 - 50}{100 + 50} = \frac{50}{150} = \frac{1}{3} \simeq 0.33 \end{align}

Nella linea viene generata un'onda riflessa con ampiezza pari ad un terzo di quella incidente sul carico.

Esempio

Data una linea di lunghezza pari a l, con ai capi un corto circuito (equivalente ad una carico $Z_L = 0$), il coefficiente di riflessione viene calcolato in questo modo:

Si considera un asse z con origine sul corto circuito (sul carico):

(55)
\begin{align} Z_L = \frac{V(z=0)}{I(z=0)} = \frac{V_1 + V_2}{V_1 - V_2}Z_C = 0 \end{align}

deve essere quindi nullo il numeratore, poiché $Z_C \ne 0$, allora $V_1 + V_2 = 0$. Da questo deriva che $V_1 = - V_2$ e dunque $\rho = -1$. C'è riflessione totale.

Esempio

Data una linea con un carico $Z_L$ pari a $Z_C$. Allora si ha:

(56)
\begin{align} Z_L = \frac{V_1 + V_2}{V_1 - V_2}Z_C = Z_C \end{align}

quindi, deve essere

(57)
\begin{equation} (V_1 + V_2)Z_C = (V_1 - V_2)Z_C \end{equation}

ovvero $V_2 = 0$, e quindi $\rho = 0$.

Quando il carico è uguale all'impedenza $Z_C$ della linea non c'è onda riflessa, come se la linea fosse infinita.

Circuito equivalente

Le linee di trasmissione possono essere modellate con circuiti equivalenti a parametri concentrati, ovvero circuiti fittizi che hanno lo stesso comportamento. Un tratto di linea di lunghezza $\Delta z$ può essere modellato tramite il seguente circuito (Fig 7.7)

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Fig 7.7 Circuito equivalente per un tratto di linea ideale


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Fig 7.8 Circuito equivalente per un tratto di linea non ideale

dove l'induttore ha induttanza $L^* \Delta z$ e il condensatore capacità $C^* \Delta z$. Sia $i(z)$ la corrente che entra nell'induttore e $i(z + \Delta z)$ quella uscente. Per l'equazione di Kirkoff della maglia si ha:

(58)
\begin{align} v(z + \Delta z) + V_L - v(z) = 0 \end{align}
(59)
\begin{align} v(z + \Delta z) - v(z) = - V_L \end{align}

l'equazione caratteristica dell'induttore è:

(60)
\begin{align} V_L = \jmath \omega L i(z) = \jmath \omega L^* \Delta z i(z) \end{align}

quindi

(61)
\begin{align} v(z + \Delta z) - v(z) = - \jmath \omega L^* \Delta z i(z) \end{align}

dividendo ambo i membri per $\Delta z$ e calcolando il limite per $\Delta z \rightarrow 0$ si ottiene l'equazione dei telegrafisti. La seconda equazione dei telegrafisti può essere ricavata attraverso l'applicazione della legge di Kirkoff per le correnti nel nodo B.

Se la linea non è ideale, perché non è ideale il dielettrico o non è perfetto il conduttore, si verifica una dissipazione per effetto joule, ovvero un effetto resistivo. In questo caso la linea può essere modellata con il circuito in figura 7.8, dove le unità di misura di $R^*$ e $G^*$ sono, ripettivamente $\left[ \frac{\Omega}{m} \right]$ e $\left[ \frac{S}{m} \right]$. Il circuito è a sua volta equivalente al seguente (Fig 7.9)

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Fig 7.9 Circuito equivalente per un tratto di linea non ideale

dove l'impedenza $Z^*$ è pari a: $Z^* = \jmath \omega L^* + R^*$ e l'ammetenza $Y^*$ è pari a $Y^* = \jmath \omega C^* + G^*$. Introducendo il valore $\tilde{\gamma} \in \mathbb{C}$, definito come:

(62)
\begin{align} \tilde{\gamma} = \omega \sqrt{Z^* Y^*} \end{align}

allora si può sostituire questo valore nell'espressione di $V(z)$ (43):

(63)
\begin{align} V(z) = V_1 e^{- \jmath \tilde{\gamma} z} + V_2 e^{- \jmath \tilde{\gamma} z} \end{align}

poiché è un numero complesso, può essere scritto come $\tilde{\gamma} = \beta - \jmath \alpha$. Sostituendo nell'espressione di $V(z)$ si ha:

(64)
\begin{align} V(z) = V_1 e^{- \alpha z} e^{- \jmath \beta z} + V_2 e^{\alpha z} e^{\jmath \beta z} \end{align}

Il termine $e^{- \alpha z}$ rappresenta l'attenuazione dell'ampiezza dell'onda dovuta alla dissipazione. Il temine $e^{\alpha z}$ non deve essere interpretato come un'amplificazione, che non ha significato fisico, ma un'attenuazione, poiché la direzione dell'asse z è invertita.

Una linea non ideale ha un'impedenza caratteristica $Z_C$ pari a:

(65)
\begin{align} Z_C = \sqrt{\frac{Z^*}{Y^*}} \in \mathbb{C} \end{align}

$Z_C$ e $\gamma$ dipendono dalle caratteristiche fisiche della linea, come:

  • forma
  • dimensioni
  • dielettrico

La velocità di propagazione dell'onda elettromagnetica nella linea è:

(66)
\begin{align} V = \frac{1}{\sqrt{L^* C^*}} \end{align}

Si può dimostrare che se il dielettrico è uniforme e omogeneo, le due velocità (propagazione nella linea e dell'onda) coincidono. Poiché nel dielettrico la velocità di propagazione è:

(67)
\begin{align} V = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} \end{align}

quindi si ha: $L^* C^* = \mu \epsilon$. Conoscendo le caratteristiche del dielettrico e conoscendo $L^*$ o $C^*$ è possibile ricavare l'altro termine.

Esempio

Una linea a piani paralleli è costituita da due conduttori piani (Fig 7.10).

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Fig 7.10 Linea con conduttori piani e paralleli

La capacità per unità di lunghezza $C^*$ equivale alla capacità del conduttore per unità di lunghezza.

(68)
\begin{align} C^* = \varepsilon \frac{\Delta}{d} \end{align}

dove $\Delta$ è l'area dell'armatura e $d$ è la distanza tra le armature. In questo caso si ha:

(69)
\begin{align} C^* = \varepsilon \frac{a}{b} \end{align}

si ricava $L^* = \frac{\mu \varepsilon}{C^*} = \mu \frac{b}{a}$, quindi

(70)
\begin{align} Z_C = \sqrt{\frac{L^*}{C^*}} = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \frac{b}{a} \end{align}

Esempio

Una linea di tipo coassiale (Fig 7.11) ha una capacità per unità di lunghezza data dalla formula

(71)
\begin{align} C^* = \frac{2 \pi \varepsilon}{\ln \dfrac{R_2}{R_1}} \end{align}
linea_coassiale.pdf

Fig 7.11 Linea costituita da due cilindri coassiali

dove $R_2$ è il raggio dell'armatura esterna e $R_1$ quello dell'armatura interna. Si ha:

(72)
\begin{align} L^* = \frac{\mu}{2 \pi} \ln \frac{R_2}{R_1} \end{align}

L'impedenza caratteristica è:

(73)
\begin{align} Z_C = \frac{\mu}{\varepsilon} \frac{\dfrac{R_2}{R_1}}{2 \pi} \end{align}
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