Campi Elettromagnetici

Capitolo 4. Soluzione delle equazioni di Maxwell: le onde

Introduzione

Precedentemente si è osservato che nel caso generale non è possibile ottenere una soluzione univoca delle equazioni di Maxwell, essendo 6 equazioni scalari indipendenti e 12 incognite (le componenti x, y e z dei 4 campi vettoriali). Le 6 equazioni scalari mancanti sono date dalle equazioni costitutive che specificano il materiale della regione; esse non sono di validità generale e dipendono dal mezzo.
Se il campo elettromagnetico si trova in un materiale lineare, isotropo, tempo-invariante, non dispersivo nel tempo e nello spazio le equazioni costitutive risultano:

(1)
\begin{eqnarray} \bar{D}(\bar r , t) = \epsilon(\bar r )\bar{E}(\bar r , t) \\ \bar{B}(\bar r , t) = \mu(\bar r )\bar{H}(\bar r , t) \end{eqnarray}

dove $\bar{\epsilon}(\bar r )$ è detto permettività elettrica del mezzo e si misura in $[\frac{F}{m}]$. La permettività elettrica del vuoto è circa: $\epsilon_0 \simeq 8.85 \cdot 10^{-12} \frac{F}{m}$ e $\mu(\bar r )$ è detto permeabilità magnetica* e si misura in $[\frac{H}{m}]$. La permeabilità magnetica del vuoto è circa: $\mu_0 \simeq 1.26 \cdot 10^{-6} \frac{H}{m}$.
Nel caso più semplice in cui il mezzo sia anche omogeneo, la permettività elettrica e la permeabilità magnetica sono costanti e le equazioni costitutive si riducono a:

(2)
\begin{eqnarray} \bar{D}(\bar r , t) = \epsilon\bar{E}(\bar r , t) \\ \bar{B}(\bar r , t) = \mu\bar{H}(\bar r , t) \end{eqnarray}

Equazione delle onde

Si considera l'equazione di Faraday-Neumann in forma locale:

(3)
\begin{align} \nabla \times \bar{E}(\bar r , t) = - \frac{\partial \bar{B}(\bar r , t)}{\partial t} \end{align}

e si applica ad ambi i membri l'operatore rotore

(4)
\begin{align} \nabla \times \nabla \times \bar{E}(\bar r , t) = - \nabla \times \frac{\partial \bar{B}(\bar r , t)}{\partial t} = - \mu \nabla \times \frac{\partial \bar{H}(\bar r , t)}{\partial t} \end{align}

dall'equazione di Ampere-Maxwell in forma locale

(5)
\begin{align} \nabla \times \bar{H}(\bar r , t) = \frac{\partial \bar{D}(\bar r , t)}{\partial t} + \bar{J_E}(\bar r , t) \end{align}

si sostituisce ottenendo

(6)
\begin{eqnarray} \nabla \times \nabla \times \bar{E}(\bar r , t) &=& - \mu \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\partial \bar{D}(\bar r , t)}{\partial t} + \bar{J_E}(\bar r , t) \right] \\ &=& - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \bar{E}(\bar r , t)}{\partial t^2} - \mu \frac{\partial \bar{J_E}(\bar r , t)}{\partial t} \end{eqnarray}

Esiste l'identità vettoriale seguente:

(7)
\begin{align} \nabla \times \nabla \times \bar U = \nabla(\nabla \circ \bar U) - \nabla^2 \bar U \end{align}

Sostituendo a primo membro si ha:

(8)
\begin{align} \nabla(\nabla \circ \bar{E}(\bar r , t)) - \nabla^2 \bar{E}(\bar r , t) = - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \bar{E}(\bar r , t)}{\partial t^2} - \mu\frac{\partial \bar{J_E}(\bar r , t)}{\partial t} \end{align}

Dall'equazione di Gauss per il campo elettrico locale si ha:

(9)
\begin{align} \nabla \circ \bar{E}(\bar r , t) = \frac{\rho_E(\bar r , t)}{\epsilon} \end{align}

quindi sostituendo si ha:

(10)
\begin{align} \nabla \frac{\rho_E(\bar r , t)}{\epsilon} - \nabla^2 \bar{E}(\bar r , t) = - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \bar{E}(\bar r , t)}{\partial t^2} - \mu \frac{\partial \bar{J_E}(\bar r , t)}{\partial t} \end{align}
(11)
\begin{align} \nabla^2 \bar{E}(\bar r , t) - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \bar{E}(\bar r , t)}{\partial t^2} = \nabla \frac{\rho_E(\bar r , t)}{\epsilon} + \mu \frac{\partial \bar{J_E}(\bar r , t)}{\partial t} \end{align}

Analogamente si applica il rotore all'equazione di Ampere-Maxwell in forma locale ottenendo

(12)
\begin{align} \nabla \times \nabla \times \bar{H}(\bar r , t) = \nabla \times \frac{\partial \bar{D}(\bar r , t)}{\partial t} + \bar{J_E}(\bar r , t) \end{align}

attraverso l'identità vettoriale (7) e in base alla legge di Faraday-Neumann si ottiene

(13)
\begin{align} \nabla(\nabla \circ \bar{H}(\bar r , t)) - \nabla^2 \bar{H}(\bar r , t) = \nabla \times \bar{J}_E(\bar r , t) - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \bar{H}(\bar r , t)}{\partial t^2} \end{align}

essendo, dall'equazione di Gauss per il campo magnetico

(14)
\begin{align} \nabla \circ \bar{H}(\bar r , t) = 0 \end{align}

allora si ha:

(15)
\begin{align} \nabla^2 \bar{H}(\bar r , t) - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \bar{H}(\bar r , t)}{\partial t^2} = - \nabla \times \bar{J}_E(\bar r , t) \end{align}

Si può notare che sono state ottenute due equazioni per i vettori $\bar{E}(\bar r , t)$ ed $\bar{H}(\bar r , t)$ che sono del tipo:

(16)
\begin{align} \nabla^2 \bar{U}(\bar r , t) - \alpha^2 \frac{\partial^2 \bar{U}(\bar r , t)}{\partial t^2} = \bar{f}(\bar r , t) \end{align}

Una equazione in questa forma prende il nome di Equazione di Helmholtz e le sue soluzioni rappresentano onde che si muovono nello spazio.

Soluzione particolare delle equazioni

Si considera una regione di spazio V, con caratteristiche $\epsilon$ e $\mu$ note e omogenee (ovvero che non dipendono dalla posizione e sono costanti), dove non sono presenti sorgenti. I campi in questa regione non sono necessariamente nulli: le sorgenti possono essere infatti esterne alla regione. Si suppone che il vettore $\bar E$ sia polarizzato lungo l'asse x e che varii solo lungo l'asse z. Per polarizzazione si intende la direzione del vettore $\bar E$. Quindi essendo $\bar E$ polarizzato lungo x si ha che la sola componente non nulla è $E_x$

(17)
\begin{align} \bar E(\bar r, t) = E_x(\bar r, t) \hat x + 0 \hat y + 0 \hat z \end{align}

Siccome il campo elettrico varia solo lungo z, allora $E_x$ è funzione solo della variabile z:

(18)
\begin{align} \bar E(\bar r, t) = E_x(z) \hat x \end{align}

sostituendo nell'equazione delle onde, essendo $\bar J_E = 0$ e $\rho_E = 0$ (perchè in assenza di sorgenti del campo) si ha:

(19)
\begin{align} \nabla^2 \bar E + k^2 \bar E = 0 \end{align}

dove $k^2 = \mu \epsilon \omega^2$ e

(20)
\begin{align} \nabla^2 \bar E (\bar r) = \nabla^2 E_x \hat x + \nabla^2 E_y \hat y + \nabla^2 E_z \hat z = \nabla^2 E_x \hat x \end{align}

il laplaciano di un vettore è un vettore costituito dal laplaciano dei componenti:

(21)
\begin{align} \nabla^2 E_x \hat x = \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} E_x + \frac{\partial^2}{\partial y^2} E_x + \frac{\partial^2}{\partial z^2} E_x \right) \hat x \end{align}

$E_x$ è funzione solo di z, quindi le derivate rispetto a x e y sono nulle e la derivata parziale rispetto a z diventa totale:

(22)
\begin{align} \frac{d^2}{dz^2} E_x(z) \hat x + k^2 E_x (z) \hat x = 0 \end{align}
(23)
\begin{align} \left[ \frac{d^2}{dz^2} E_x(z) + k^2 E_x (z) \right] \hat x = 0 \end{align}

Affinchè l'equazione sia nulla, siccome è costituita da una espressione moltiplicata da un versore, deve essere nulla l'espressione interna tra parentesi:

(24)
\begin{align} \frac{d^2}{dz^2} E_x(z) + k^2 E_x (z) = 0 \end{align}

Essa è un'equazione differenziale del secondo ordine del tipo $y'' + ay = 0$. La soluzione è del tipo

(25)
\begin{align} E_x(z) = C_1 e^{-\jmath k z} + C_2 e^{\jmath k z} \end{align}

con $C_1$ e $C_2$ costanti.
Il campo elettrico risulta quindi

(26)
\begin{align} \bar E(\bar r) = (C_1 e^{-\jmath k z} + C_2 e^{\jmath k z}) \hat x \end{align}

Supponendo che $C_2 = 0$ allora il campo risulta

(27)
\begin{align} \bar E(\bar r) = C_1 e^{-\jmath k z} \hat x \end{align}

Se $C_1 \in \mathbb{C}$ allora può essere scritto come $C_1 = \vert C_1 \vert e^{\jmath \phi_1}$ quindi

(28)
\begin{align} \bar E(\bar r) = \vert C_1 \vert e^{-\jmath (k z - \phi_1)} \hat x \end{align}

Nel dominio del tempo si ha:

(29)
\begin{align} \bar E(z, t) = \Re \left\lbrace C_1 e^{-\jmath k z} e^{\jmath \omega t} \right\rbrace \hat x = \vert C_1 \vert \cos (\omega t - k z + \phi_1) \hat x \end{align}
ondae.pdf

Onda relativa al campo elettrico

E' un'onda che cambia nel tempo e nello spazio, rappresentata da un fasore del tipo $e^{-\jmath kz}$, che si propaga lungo la direzione z crescente. Se il campo fosse del tipo $Ce^{\jmath ky} \hat z$ allora sarebbe polarizzato lungo z con propagazione lungo y. Il termine $e^{\jmath kz}$ rappresenta invece un'onda che si propaga nella direzione opposta, nella direzione delle z decrescenti. Il campo elettromagnetica si comporta quindi come un'onda che si propaga. Questa non è una ipotesi ma una sua proprietà intrinseca.

Il termine $C_1 e^{-\jmath k z}$ viene detto onda progressiva (si muove nella direzione crescente delle z)
Il termine $C_2 e^{\jmath k z}$ viene detto onda regressiva (si muove nella direzione decrescente delle z)

Conoscendo il campo E si può ricavare anche la soluzione per il campo H, infatti, dall'equazione di Faraday-Neumann

(30)
\begin{align} \nabla \times \bar E(\bar r) = - \jmath \omega \bar B(\bar r) = - \jmath \omega \mu \bar H(\bar r) \end{align}
(31)
\begin{align} \bar H(\bar r) = \frac{1}{- \jmath \omega \mu} \nabla \times \bar E(\bar r) \end{align}
(32)
\begin{align} \nabla \times \bar E(\bar r) = det \left[ \begin{array}{ccc} \hat x & \hat y & \hat z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_x & 0 & 0 \\ \end{array} \right] = \left[ 0 \hat x + \frac{\partial E_x}{\partial z} \hat y - \frac{\partial E_x}{\partial y} \hat z \right] \end{align}

essendo $E_x$ funzione solo di z, allora $\frac{\partial E_x}{\partial y} = 0$ quindi

(33)
\begin{align} \bar H(\bar r) = \frac{1}{- \jmath \omega \mu} \left[ \frac{\partial E_x}{\partial z} \right] \hat y \end{align}

dove $E_x = (c_1 e^{-\jmath k z} + c_2 e^{\jmath k z}) \hat y$, sostituendo

(34)
\begin{align} \bar H(\bar r) = \frac{1}{- \jmath \omega \mu} (c_1 (-\jmath k) e^{-\jmath k z} + c_2 (\jmath k) e^{\jmath k z}) \hat y \end{align}

raccogliendo $-\jmath k$ all'interno della parentesi si ha

(35)
\begin{align} \bar H(\bar r) = \frac{-\jmath k}{- \jmath \omega \mu} (c_1 e^{-\jmath k z} - c_2 e^{\jmath k z}) \hat y \end{align}

inoltre si ha:
$\frac{k}{\omega \mu} = \frac{\omega \sqrt{\mu \epsilon}}{\omega \mu} = \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}} = \eta$
La quantità $\eta$ dipende solo dal mezzo, si misura in $[\Omega]$ e viene detta impedenza intrinseca del mezzo. L'impedenza intrinseca del vuoto è $\eta_0 = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} \simeq 377 \Omega$.

Il campo H è dato quindi da:

(36)
\begin{align} \bar H(\bar r) = \left( \frac{c_1}{\eta} e^{-\jmath k z} - \frac{c_2}{\eta} e^{\jmath k z} \right) \hat y \end{align}

Si può osservare che:

  1. anche il campo magnetico si propaga come un'onda
  2. il campo magnetico varia lungo y in direzione di z, quindi E e H sono perpendicolari tra loro e perpendicolari alla direzione di propagazione z
  3. l'onda progressiva e quella regressiva hanno ampiezza pari a quella di E divisa per l'impedenza caratteristica del mezzo
  4. noto il campo E si determina immediatamente il campo H

Il tipo di onde descritte in precedenza sono dette onde trasverso elettromagnetica (TEM), il cui nome deriva dal fatto che è trasversale (perpendicolare) alla direzione di propagazione dei campi E e H. Vengono anche dette onde piane.

ondaeh.pdf

Onda relativa al campo elettrico e al campo magnetico

Viene detta onda piana un'onda il cui campo elettromagnetico assume valori costanti su un piano. In questo caso il piano è xy.Una delle caratteristiche delle onde piane consiste nell'apparire, a grande distanza dalla sorgente che la ha generata, localmente come un'onda piana.

Velocità

Si considera un punto arbitrario della funzione onda, che all'istante $t_1$ si trova alle coordinate $z_1$ Nell'istante $t_2$ esso si troverà nel punto $z_2$. Le due coppie $z_1, t_1$ e $z_2, t_2$, descrivono lo stesso valore della funzione, quindi sostituendole nell'argomento del coseno si ha:

(37)
\begin{eqnarray} \omega t_1 - k z_1 + \phi_1 = \omega t_2 - k z_2 + \phi_1 \\ k(z_2 - z_1) = \omega (t_2 - t_1) \\ k \Delta z = \omega \Delta t \end{eqnarray}

La velocità è definita come

(38)
\begin{align} v = \frac{\Delta z}{\Delta t} = \frac{\omega}{k} = \frac{\omega}{\omega \sqrt{\mu \epsilon}} = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} \end{align}

La formula della velocità delle onde elettromagnetiche comporta alcune osservazioni:

  • la velocità di propagazione dipende solo dal mezzo e non dalla frequenza: tutte le onde in un dato spazio si propagano alla stessa velocità
  • nel vuoto la velocità è $v_0 = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \simeq 3 \cdot 10^8 \frac{m}{s} = c$, ovvero la velocità della luce. La luce è un'onda elettromagnetica caratterizzata da una certa frequenza. La sua velocità era nota fin dal 1600, senza sapere cosa esattamente fosse.
  • la velocità viene ricavata direttamente dalle equazioni di Maxwell

Lunghezza d'onda

La lunghezza d'onda corrisponde alla distanza percorsa dall'onda in un periodo T e viene indicata con $\lambda$.

(39)
\begin{align} \lambda = v T = \frac{v}{f} \end{align}

dove f è la frequenza, pari a $\frac{1}{T}$. Essendo $k = \omega \sqrt{\mu \epsilon}$ e $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ allora $k = frac{\omega}{v}$, con $\omega = \frac{2 \pi}{f}$, quindi $k = \frac{2 \pi}{fv} = \frac{2 \pi}{\lambda}$. Una prima approssimazione di "grande distanza" può essere considerata circa $d > 10 \lambda$.

Onde riflesse e onde trasmesse

Si considerano due semispazi contenti due mezzi diversi. Il mezzo 1 è contenuto nella regione per $z < 0$, ed è un dielettrico ideale con $\epsilon_1, \mu_1$ costanti. Il mezzo 2 è contenuto nella regione per $z > 0$ con $\epsilon_2, \mu_2$ costanti. In $z = 0$ è presente l'interfaccia tra i due mezzi, rappresentata dal piano xy. Si suppone che nella regione 1 si stia propagando un'onda elettromagnetica lungo l'asse z con il campo $\bar E$ polarizzato lungo x. Si vuole determinare il campo elettromagnetico in tutto lo spazio. Se non esistesse l'interfaccia l'onda continuerebbe senza interferenze, mentre in presenza di una discontinuità nel mezzo di potranno generare un onda riflessa e un onda trasmessa.

interfaccia03.pdf

Onda incidente, onda riflessa e trasmessa

Nella regione 1 sarà presente la somma dell'onda incidente e l'onda riflessa, mentre nella regione 2 sarà presente solo l'onda trasmessa. Sia $C_1$ l'ampiezza dell'onda incidente, $C_2$ quella dell'onda riflessa e $C_3$ quella dell'onda trasmessa.

Regione 1

(40)
\begin{eqnarray} \bar E_1 = (C_1 e^{-\jmath k_1 z} + C_2 e^{\jmath k_1 z}) \hat x \\ \bar H_1 = (\frac{C_1}{\eta_1} e^{-\jmath k_1 z} + \frac{C_2}{\eta_1} e^{\jmath k_1 z}) \hat y \end{eqnarray}

dove $k_1 = \omega \sqrt{\epsilon_1 \mu_1}$ e $\eta_1 = \sqrt{\frac{\mu_1}{\epsilon_1}}$

Regione 2

(41)
\begin{eqnarray} \bar E_2 = (C_3 e^{-\jmath k_2 z} + C_3 e^{\jmath k_2 z}) \hat x \\ \bar H_2 = (\frac{C_3}{\eta_2} e^{-\jmath k_2 z} + \frac{C_3}{\eta_2} e^{\jmath k_2 z}) \hat y \end{eqnarray}

dove $k_2 = \omega \sqrt{\epsilon_2 \mu_2}$ e $\eta_2 = \sqrt{\frac{\mu_2}{\epsilon_2}}$

Mentre $C_1$ è una grandezza nota, non si conoscono le quantità $C_2$ e $C_3$. Per determinarle occorrono le 2 equazioni di interfaccia seguenti:

(42)
\begin{eqnarray} \hat n \times \bar E_2 = \hat n \times \bar E_1 \\ \hat n \times \bar H_2 = \hat n \times \bar H_1 \end{eqnarray}

In questo caso $\hat n = \hat z$.

Non essendo presenti correnti $J_E$ tra i due dielettrici i campi sono continui.
Applicando la prima condizione si ha:

(43)
\begin{eqnarray} \hat n \times \bar E_2(0) = \hat z \times (C_3 \hat x) \\ \hat n \times \bar E_1(0) = \hat z \times ((C_1 + C_2) \hat x) \end{eqnarray}

da cui deriva

(44)
\begin{align} \hat z \times (C_3 \hat x) = \hat z \times ((C_1 + C_2) \hat x) \end{align}

Applicando la seconda condizione si ha:

(45)
\begin{eqnarray} \hat n \times \bar H_2 = \hat n \times \bar H_1 \\ \hat z \times \bar H_2 = \hat z \times \bar H_1 \end{eqnarray}

da cui deriva

(46)
\begin{align} \hat z \times (\frac{C_3}{\eta_2} \hat y) = \hat z \times (\frac{C_1}{\eta_1} - \frac{C_2}{\eta_1}) \hat y \end{align}

si ha $\hat z \times \hat x = \hat y$ e $\hat z \times \hat y = - \hat x$. Quindi

(47)
\begin{eqnarray} C_3 \hat y = (C_1 + C_2) \hat y \\ - \frac{C_3}{\eta_2} \hat x = (\frac{C_2}{\eta_1} - \frac{C_1}{\eta_1}) \hat x \end{eqnarray}

Si semplificano i versori che sono costanti:

(48)
\begin{eqnarray} C_3 = C_1 + C_2 \\ \frac{C_3}{\eta_2} = \frac{C_1}{\eta_1} - \frac{C_2}{\eta_1} \end{eqnarray}

Si possono definire le quantità seguenti:

Coefficiente di riflessione: percentuale di onda incidente che viene riflessa

(49)
\begin{align} \Gamma \triangleq \frac{C_2}{C_1} \end{align}

Coefficiente di trasmissione: percentuale di onda incidente che viene trasmessa

(50)
\begin{align} \tau \triangleq \frac{C_3}{C_1} \end{align}

Dividendo entrambe le equazioni di interfaccia per $C_1$ si ottiene

(51)
\begin{eqnarray} \frac{C_3}{C_1} = 1 + \frac{C_2}{C_1} \\ \tau = 1 + \Gamma \end{eqnarray}
(52)
\begin{eqnarray} \frac{C_3}{C_1 \eta_2} = \frac{1}{\eta_1} + \frac{C_2}{C_1 \eta_1} \\ \frac{\tau}{\eta_2} = \frac{1}{\eta_1} - \frac{\Gamma}{\eta_1} \end{eqnarray}

Sostituendo $\tau$ nella seconda equazione si ottiene

(53)
\begin{eqnarray} \frac{1+\Gamma}{\eta_2} = \frac{1-\Gamma}{\eta_1} \\ \frac{\eta_1 (1+\Gamma) - \eta_2(1-\Gamma)}{\eta_1 \eta_2} = 0 \end{eqnarray}

da cui si ricava

(54)
\begin{align} \Gamma = \frac{\eta_2 - \eta_1}{\eta_2 + \eta_1} \end{align}

e

(55)
\begin{align} \tau = 1 + \Gamma = 1 + \frac{\eta_2 - \eta_1}{\eta_2 + \eta_1} = \frac{2 \eta_2}{\eta_2 + \eta_1} \end{align}

Come caso notevole, se due mezzi sono uguali si ha: $\epsilon_1 = \epsilon_2$ e $\mu_1 = \mu_2$ quindi $\eta_1 = \eta_2$ allora

(56)
\begin{eqnarray} C_2 = 0 \\ C_3 = C_1 \end{eqnarray}

L'onda incidente viene completamente trasmessa e nessuna onda viene riflessa: $\Gamma = 0$ e $\tau = 1$

Esempio

Sia il mezzo 1 il vuoto con coefficiente $\eta_0$ e il mezzo 2 tale che $\eta_2 = \eta_0$ e $\epsilon_2 = 4 \epsilon_0$, allora

(57)
\begin{eqnarray} \eta_1 &=& \eta_0 = 377 \Omega \\ \eta_2 &=& \sqrt{\frac{\mu_2}{\epsilon_2}} = \sqrt{\frac{\mu_0}{4 \epsilon_0}} = \frac{1}{2}\eta_0 \\ \Gamma &=& \frac{\frac{\eta_2}{2} - \eta_0}{\frac{\eta_2}{2} + \eta_0} = -\frac{1}{3} \\ \tau &=& 1 + \Gamma = \frac{2}{3} \\ \end{eqnarray}

è presente una riflessione pari a circa il 33% dell'onda incidente.

Materiali con coefficienti complessi

I materiali che presentano valori di $\epsilon$, $\mu$ complessi sono:

  • materiali dispersivi nel tempo ($\epsilon \in \mathbb{C}$)
  • materiali che presentano conducibilità

Un dielettrico ideale non posside cariche libere che possono muoversi, mentre un conduttore presenta alcune cariche libere in grado di spostarsi per effetto del campo. Un buon conduttore posside molte cariche libere.
Sotto l'effetto del campo elettromagnetico le cariche si spostano e danno luogo a una corrente indotta dal campo che per molti materiali può essere descritta dalla legge di Ohm

(58)
\begin{align} \bar J_{ohm} (\bar r) = \sigma(\bar r) \bar E(\bar r) \end{align}

le eventuali sorgenti che generano il campo sono l'equivalente di generatori indipendenti nei circuiti, e la corrente indotta $\bar J_{ohm} (\bar r)$ genera a sua volta un campo.

Si considera l'equazione di Maxwell-Ampere in forma locale:

(59)
\begin{align} \nabla \times \bar{H}(\bar{r}) = \jmath \omega \bar{D}(\bar{r}) + \bar{J_E}(\bar{r}) \end{align}

dove il termine $\bar J_E$ contiene sia le correnti indotte che quelle impresse: $\bar J_E = \bar J_o + \bar J_{ohm}$. Supponendo che $\bar D = \epsilon \bar E$, allora esplicitando $\bar J_o$ si ottiene:

(60)
\begin{align} \nabla \times \bar{H}(\bar{r}) = \jmath \omega \epsilon \bar{E}(\bar{r}) + \bar J_o + \bar J_{ohm} \end{align}

Si raccoglie $\bar E$:

(61)
\begin{align} \nabla \times \bar{H}(\bar{r}) = \jmath \omega \left[ \epsilon - \jmath \frac{\sigma}{\omega} \right] \bar E(\bar{r}) + \bar J_o \end{align}

Si pone:

(62)
\begin{align} \epsilon^* \triangleq \epsilon - \jmath \frac{\sigma}{\omega} \in \mathbb{C} \end{align}

Quindi l'equazione di Ampere-Maxwell diventa, tenendo conto della conducibilità:

(63)
\begin{align} \nabla \times \bar{H}(\bar{r}) = \jmath \omega \epsilon^* \bar{E}(\bar{r}) + \bar{J_o}(\bar{r}) \end{align}

In un mezzo conduttore si può quindi introdurre un valore $\epsilon^*$ complesso e trattare il mezzo come un qualunque dielettrico considerando nell'equazione solo $\bar J_o$ ovvero solo le correnti impressive e non quelle indotte.

In mezzi con proprietà diverse si hanno diversi valori di $\epsilon^*$:

  • se $\sigma \neq 0$ e $\epsilon \gg \frac \sigma \omega$ è il caso di un buon dielettrico o non ideale
  • se $\sigma = 0$ allora $\epsilon^* = \epsilon$, è il caso di un dielettrico ideale
  • se $\frac \sigma \omega \gg \epsilon$ allora $\epsilon^* \simeq \frac \sigma \omega$, è il caso di un buon conduttore
  • un conduttore ideale o perfetto ha $\sigma \rightarrow \infty$

Generalmente non si conosce il valore di $\epsilon$ di un buon conduttore perchè la conducibilità è troppo elevata per poter misurare direttamente la polarizzazione. Valori tipici di un buon conduttore potrebbero essere: $\sigma \simeq 10^7 [\frac{S}{m}]$ e $\epsilon_r \simeq 1$. Un buon conduttore rimane tale finchè la frequenza $\omega$ soddisfa la relazione $\omega \ll \frac \sigma \epsilon$. Nell'esempio precedente si ha: $\omega \ll 10^7\cdot 8.87\cdot 10^{12} \simeq 10^{20}$

Un'onda che viaggia in un materiale con $\epsilon, \mu$ complessi avrà equazione

(64)
\begin{align} \bar E(\bar r) = C_1 e^{-\jmath k z} \hat x \end{align}

con $k = \omega \sqrt{\mu \epsilon} \in \mathbb{C}$ che può essere scritto come $k = \beta - \jmath \alpha$. L'equazione diventa

(65)
\begin{align} \bar E(\bar r) = C_1 e^{\alpha z} e^{\jmath \beta z} \hat x \end{align}

L'ampiezza del campo elettrico sarà

(66)
\begin{align} \vert E_x(z) \vert = \vert C_1 e^{- \alpha z} e^{- \jmath \beta z} \vert = \vert C_1 \vert \vert e^{- \alpha z} \vert \vert e^{- \jmath \beta z} \vert \end{align}

il primo esponenziale è un numero reale, quindi il suo modulo coincide con il numero stesso, mentre il secondo esponenziale è complesso e ha modulo unitario. Quindi si ha:

(67)
\begin{align} \vert E_x(z) \vert = \vert C_1 \vert \vert e^{- \alpha z} \vert \end{align}

Se $\alpha$ è positivo allora l'ampiezza dell'onda diminuisce al crescere di z e l'onda viene attenuata. Se il dielettrico è ideale allora $k \in \mathbb{R}$ e l'onda non si attenua. Il valore di $\alpha$ viene detta costante di attenuazione.

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Attenuazione del modulo del campo elettrico

Quando l'onda incontra un conduttore, allora il campo elettrico muove le cariche presenti in quest'ultimo a spese dell'energia del campo. La radice quadrata ha due valori: una soluzione con elemento immaginario positivo e una soluzione con elemento immaginario negativo. Tuttavia la soluzione con elemento immaginario positivo è $k = \beta + \jmath \alpha$ e comporta una equazione di onda del tipo $C_1 e^{\alpha z}$, con ampiezza crescente lungo la direzione di propagazione. Questa soluzione non ha significato fisico e l'unica soluzione valida è $k = \beta - \jmath \alpha$.

Si suppone di avere un'onda che percorre un buon conduttore, caratterizzato da $\epsilon^* = \epsilon - \jmath \frac \sigma \omega$ con $\frac \sigma \omega \gg \epsilon$, quindi $\epsilon^* \simeq - \jmath \frac \sigma \omega$. Allora

(68)
\begin{align} k = \omega \sqrt{-\jmath \frac \sigma \omega \mu} = \sqrt{- \jmath} \sqrt{\omega \sigma \mu} = (\frac {\sqrt 2}{2} - \jmath \frac{\sqrt 2}{2}) \sqrt{\omega \sigma \mu} \end{align}
(69)
\begin{align} \alpha = \sqrt{\omega \sigma \mu} \frac{\sqrt 2}{2} \end{align}
(70)
\begin{align} \beta = \sqrt{\omega \sigma \mu} \frac{\sqrt 2}{2} \end{align}

Se $\alpha = 0$ non esiste alcuna attenuazione, mentre maggiore è il valore di $\alpha$ e più velocemente si attenuerà l'onda.

Effetto pelle

Si suppone di avere due semispazi che contengono due mezzi. Sia il mezzo 1 il vuoto e il mezzo 2 un buon conduttore. Si suppone che un onda TEM incida sull'interfaccia. Nella regione 1 il campo è:

(71)
\begin{eqnarray} \bar E_1 = (C_1 e^{-\jmath k_0 z} + C_2 e^{\jmath k_0 z}) \hat x \\ \bar H_1 = (\frac{C_1}{\eta_0} e^{-\jmath k_0 z} + \frac{C_2}{\eta_0} e^{\jmath k_0 z}) \hat y \end{eqnarray}

Nella regione 2 il campo è:

(72)
\begin{eqnarray} \bar E_2 = C_3 e^{-\jmath k_2 z} \hat x \\ \bar H_2 = \frac{C_3}{\eta_2} e^{-\jmath k_2 z} \hat y \end{eqnarray}

con $k_2, \eta_2 \in \mathbb{C}$, $\eta_2 = \sqrt{\frac{\mu_2}{\epsilon_2}}$
Si ha che

(73)
\begin{align} \Gamma = \frac{\eta_2 - \eta_0}{\eta_2 + \eta_0} \end{align}
(74)
\begin{align} \tau = \frac{2 \eta_2}{\eta_2 + \eta_0} \end{align}

Si definisce profondità di penetrazione la distanza $d$ alla quale l'ampiezza dell'onda dentro al conduttore si è attenuata fino ad un fattore di $\frac 1 e \simeq 0.3$, ovvero

(75)
\begin{align} \vert E_x (z=d) \vert = \frac 1 e \vert E_x (z=0) \vert \end{align}

Quindi alla distanza $d$ l'ampiezza dell'onda si riduce del 30% del valore iniziale. Per $z=d$ si ha che

(76)
\begin{align} \vert E_x(d)\vert = C_1 e^{-\alpha d} = \frac 1 e C_1 = \vert E_x(0) \vert \end{align}

$e^{-\alpha d} = e^{-1}$ implica $d = \frac {1}{\alpha} = \sqrt{\frac{2}{\omega \sigma \mu}}$. Come esempio il rame ha $\sigma \simeq 5.76 \cdot 10^7 \[ \frac{S}{m} \]$ e $\mu \simeq \mu_0$. Ad una frequenza di $f = 50 Hz$ si ha $d \simeq 1.11 cm$, mentre ad una frequenza $f = 10\:GHz = 10^{10} Hz$ si ha $d \simeq 0.7 \mu m$.

Quando un conduttore è usate per trasportare corrente, essa scorrerà superficialmente, fino ad una distanza dalla superficie di d. All'aumento della frequenza il valore di d diminuirà. Questo fenomeno è detto Effetto pelle. All'aumentare della frequenza aumenta anche la resistenza del conduttore: dato un filo lungo l e con resistività $\rho$ la sua resistenza è $R = \rho \frac l A$, dove A è l'area. Per effetto pelle la corrente scorre superficialmente e l'area diminuisce: se fluisse in modo perfettamente superficiale, con $d=0$, allora si avrebbe $A = 0$ e $R \rightarrow \infty$.

Conduttore perfetto

Un conduttore perfetto, con $\sigma \rightarrow 0$, ha la caratteristica che un campo non può penetrare in esso: si hanno infatti le seguenti condizioni

(77)
\begin{eqnarray} \bar E_2 = 0 \\ \bar H_2 = 0 \end{eqnarray}

Il campo elettromagnetico all'interno del conduttore è sempre identicamente nullo. Le equazioni di interfaccia nel caso di un conduttore perfetto sono:

(78)
\begin{eqnarray} \hat n \times \bar E_2 = \hat n \times \bar E_1 \\ \hat n \times (\bar H_2 - \bar H_1) = \bar J_S \end{eqnarray}

Essendo $\bar E_1 = 0$ e $\bar H_1 = 0$ si ha:

(79)
\begin{eqnarray} \hat n \times \bar E_2 = 0 \\ \hat n \times \bar H_2 = \bar J_S \end{eqnarray}
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