Campi Elettromagnetici

Capitolo 3. Condizioni di interfaccia

Introduzione

Si considera una regione di spazio dove è presente una discontinuità del mezzo contenuto in essa. Intuitivamente, in relazione alla discontinuità del mezzo possono essere presenti discontinuità dei vettori del campo: dove il mezzo è continuo e omogeneo i campi saranno continui.

Una interfaccia è una superficie che divide due mezzi con caratteristiche differenti. Le discontinuità sono descritte da condizioni dette condizioni di interfaccia. Esistono 4 condizioni di due tipi diversi:

  • 2 condizioni relative alle componenti normali dei campi
  • 2 condizioni relative alle componenti tangenziali dei campi

Si considerano due mezzi: un mezzo 1 con caratteristiche $\epsilon_1$, $\mu_1$ e un mezzo 2 con caratteristiche $\epsilon_2$, $\mu_2$. Si suppone inoltre che il mezzo 1 e il mezzo due siano omogenei e separati da una superficie con forma qualunque, con $\hat n$ come vettore normale punto per punto a questa superficie.

Vettori D e B

L'equazione di Gauss in forma globale per il campo $\bar D$ è:

(1)
\begin{align} \oint_\Sigma \bar{D}(\bar{r}, t) \circ \hat{n} dS = \int_V \rho_E(\bar{r}, t) dV \end{align}

ed essa, come le altre equazioni di Maxwell, ha validità globale e descrive l'andamento dei vettori del campo in qualunque mezzo, anche non omogeneo. Si considera una superficie chiusa S che racchiude un volume costituito da un piccolo cilindro posizionato per metà nel mezzo 1 e per metà nel mezzo 2. La superficie totale di questo solido è formata dalle due basi e dalla superficie laterale. Sia $\Delta l$ l'altezza del cilindro.

interfaccia01.pdf

Volume cilindrico posto tra due mezzi diversi

Si può spezzare l'integrale del flusso a primo membro nei tre integrali calcolati lungo le superfici delle basi e laterale:

(2)
\begin{align} \oint_\Sigma \bar{D}(\bar{r}, t) \circ \hat{n} dS = \int_{\Delta S_1} \bar{D}_1(\bar{r}, t) \circ \hat{n}_1 dS + \int_{\Delta S_2} \bar{D}_2(\bar{r}, t) \circ \hat{n}_2 dS + \int_{\Delta S_l} \bar{D}(\bar{r}, t) \circ \hat{n}_l dS \end{align}

dove $\bar{D}_1$]] e $\bar{D}_2$]] sono i vettori spostamento elettrico nei mezzi 1 e 2. Si procede facendo tendere l'altezza a 0. In questo modo la superficie laterale tende a 0 e con essa anche l'ultimo integrale calcolato lungo la superficie laterale. Inoltre

(3)
\begin{eqnarray} \Delta S_1 = \Delta S \\ \Delta S_2 = \Delta S \\ \hat{n}_2 = - \hat{n}_1 = \hat n \end{eqnarray}

effettuando queste sostituzioni si ottiene:

(4)
\begin{align} \oint_\Sigma \bar{D}(\bar{r}, t) \circ \hat{n} dS = \int_{\Delta S} \bar{D}_2(\bar{r}, t) \circ \hat{n} dS - \int_{\Delta S} \bar{D}_1(\bar{r}, t) \circ \hat{n} dS = \int_{\Delta S} (\bar{D}_2(\bar{r}, t) - \bar{D}_1(\bar{r}, t)) \circ \hat{n} dS \end{align}
interfaccia01a.pdf

Volume cilindrico posto tra due mezzi diversi

A secondo membro l'integrale sul volume può essere spezzato nell'integrale sul volume del mezzo 1, nell'integrale sul volume nel mezzo 2 e nell'integrale superficiale su $\Delta S$ :

(5)
\begin{align} \int_V \rho_E(\bar{r}, t) dV = \int_{\Delta V_1} \rho_{E_1}(\bar{r}, t) dV + \int_{\Delta V_2} \rho_{E_2}(\bar{r}, t) dV + \int_{\Delta S} \rho_{S}(\bar{r}, t) dS \end{align}

dove $\rho_{S}$ è la densità di carica superficiale, misurata in $\left[ \frac{C}{m^2} \right]$
Quando $\Delta l \rightarrow 0$, allora anche i volumi $\Delta V_1$ e $\Delta V_2$ tenderanno a 0, quindi i contributi calcolati su questi volumi sono nulli e l'unico contributo non nullo è quello relativo all'integrale superficiale.

(6)
\begin{align} \int_V \rho_E(\bar{r}, t) dV = \int_{\Delta S} \rho_{S}(\bar{r}, t) dS \end{align}

Sostituendo questo risultato nell'equazione si ha:

(7)
\begin{align} \int_{\Delta S} (\bar{D}_2(\bar{r}, t) - \bar{D}_1(\bar{r}, t)) \circ \hat{n} dS = \int_{\Delta S} \rho_{S}(\bar{r}, t) dS \end{align}

La superficie $\Delta S$ su cui viene calcolato l'integrale è la stessa quindi si possono unire i due integrali:

(8)
\begin{align} \int_{\Delta S} \left[ (\bar{D}_2(\bar{r}, t) - \bar{D}_1(\bar{r}, t)) \circ \hat{n} - \rho_{S}(\bar{r}, t) \right] dS = 0 \end{align}

Non sono state effettuate ipotesi su $\Delta S$, quindi è una superficie generica. Ne consegue che l'equazione deve essere valida per qualunque superficie. L'integrale dunque si annulla solo se si annulla la funzione integranda, ovvero:

(9)
\begin{align} \left[ \bar{D}_2 (\bar{r}, t) - \bar{D}_1 (\bar{r}, t) \right] \circ \hat{n} = \rho_{S}(\bar{r}, t) \end{align}

Questa condizione è un vincolo tra i vettori D presenti nei due mezzi, ed è valida solo per i punti $\bar r$ che appartengono all'interfaccia.La quantità $\bar D \circ \hat n$ identifica la componente normale del vettore D rispetto all'interfaccia. Questa equazione implica che le componenti normali del vettore spostamento elettrico non sono necessariamente continue passando dal mezzo 1 al mezzo 2. La continuità viene garantita dalla condizione $\rho_S = 0$.

Con ragionamenti analoghi si può ricavare la condizione relativa al vettore $\bar B$

(10)
\begin{align} \left[ \bar{B}_2 (\bar{r}, t) - \bar{B}_1 (\bar{r}, t) \right] \circ \hat{n} = 0 \end{align}

La componente normale del vettore B è sempre continua all'interfaccia tra due mezzi diversi: infatti non esistono cariche magnetiche isolate che possano formare una "carica magnetica" netta presente sulla superficie.

In generale non si possono effettuare affermazioni sulle componenti normali dei vettori $\bar H$ e $\bar E$.

Vettori E e H

Si considera l'equazione di Ampere in forma globale:

(11)
\begin{align} \oint_l \bar{H}(\bar{r}, t) \circ \bar{dl} = \int_{\Sigma} \frac{\partial \bar{D}(\bar{r}, t)}{\partial t} \circ \hat{n} dS + \int_E \bar{J_E}(\bar{r}, t) \circ \hat{n} dS \end{align}

essa afferma che la circuitazione di $\bar H$ lungo una linea chiusa l è pari al flusso del vettore $\bar D$ attraverso la superficie S sommato al flusso del vettore $\bar J$ attraverso la superficie (pari alla corrente che scorre attraverso essa). Si considera una linea chiusa che giace a metà tra il mezzo 1 e il mezzo 2, a forma di rettangolo con vertici ABCD. L'area della superficie S relativa alla linea è l'area del rettangolo con normale $\hat k$, tangente alla superficie di interfaccia. Anche il versore $\hat w$ è tangente all'interfaccia.

interfaccia02.pdf

Tracciato tra due mezzi diversi

L'integrale a primo membro può essere spezzato nella somma dei contributi lungo i quattro lati:

(12)
\begin{align} \oint_l \bar{H}(\bar{r}, t) \circ \bar{dl} = \int_A^B \bar{H}_2(\bar{r}, t) \circ \bar{dl}_2 + \int_B^C \bar{H}(\bar{r}, t) \circ \bar{dl} + \int_C^D \bar{H}_1(\bar{r}, t) \circ \bar{dl}_1 + \int_D^A \bar{H}(\bar{r}, t) \circ \bar{dl} \end{align}

Dove $\bar{H}_1$ e $\bar{H}_2$ sono i vettori del campo magnetico rispettivamente nel mezzo 1 e nel mezzo 2.

Si considera la quantità $\Delta l$ tendente a 0. Gli integrali tra B e C e tra D e A sono quindi nulli. Inoltre si ha $AB = CD = w$, $\bar{dl}_2 = - \bar{dl}_1 = dl \hat w$. Sostituendo si ha:

(13)
\begin{align} \oint_l \bar{H}(\bar{r}, t) \circ \bar{dl} = \int_A^B \bar{H}_2(\bar{r}, t) \circ \hat w dl - \int_C^D \bar{H}_1(\bar{r}, t) \circ \hat w dl \end{align}

Si può portare a secondo membro tutti i contributi sotto lo stesso integrale:

(14)
\begin{align} \oint_l \bar{H}(\bar{r}, t) \circ \bar{dl} = \int_w \left[ \bar{H}_2(\bar{r}, t) - \bar{H}_1(\bar{r}, t) \right] \circ \hat w dl \end{align}

Il vettore normale alla superficie considerata (ovvero il rettangolo ABCD) è $\hat k$ (e non $\hat n$), quindi a secondo membro dell'equazione di Ampere si ha:

(15)
\begin{align} \int_w \left[ \bar{H}_2(\bar{r}, t) - \bar{H}_1(\bar{r}, t) \right] \circ \hat w dl = \frac{d}{dt} \int_{\Delta S} \bar{D}(\bar{r}, t) \circ \hat{k} dS + \int_{\Delta S} \bar{J}_E (\bar{r}, t) \circ \hat{k} dS \end{align}

Se $\Delta l \rightarrow 0$ allora il termine $\frac{d}{dt} \int_{\Delta S} \bar{D}(\bar{r}, t) \circ \hat{k} dS \rightarrow 0$ perchè si annulla la superficie $\Delta S$. Si può suddividere l'ultimo termine, relativo a $J_E$, in tre contributi relativi alla superficie $\Delta S_1$, $\Delta S_2$ e alla linea w (intersezione tra $\Delta S$ e l'interfaccia, quindi:

(16)
\begin{align} \int_{\Delta S} \bar{J}_E (\bar{r}, t) \circ \hat{k} dS = \int_{\Delta S_1} \bar{J}_E1 (\bar{r}, t) \circ \hat{k} dS + \int_{\Delta S_2} \bar{J}_E2 (\bar{r}, t) \circ \hat{k} dS + \int_w \bar{J}_S (\bar{r}, t) \circ \hat{k} dl \end{align}

dove $\bar{J}_E1$ e $\bar{J}_E2$ sono il vettore $\bar{J}_E$ nel mezzo 1 (superficie $\Delta S_1$) e nel mezzo 2 (superficie $\Delta S_2$).

interfaccia02a.pdf

Tracciato tra due mezzi diversi

Il termine $J_S$ è definito come la densità di corrente superficiale, ovvero la densità di corrente che attraversa l'interfaccia. Viene misurato in $\left[ \frac{A}{m}\right]$. Se $\Delta l \rightarrow 0$ allora $\Delta S \rightarrow 0$, quindi i due contributi sono nulli e si ha:

(17)
\begin{align} \int_{\Delta S} \bar{J}_E (\bar{r}, t) \circ \hat{k} dS = \int_w \bar{J}_S (\bar{r}, t) \circ \hat{k} dl \end{align}

Sostituendo si ha:

(18)
\begin{align} \int_w \left[ \bar{H}_2(\bar{r}, t) - \bar{H}_1(\bar{r}, t) \right] \circ \hat w dl = \int_w \bar{J}_S (\bar{r}, t) \circ \hat{k} dl \end{align}

Essendo $\hat w = \hat k \times \hat n$ si può sostituire:

versori.pdf

Posizione dei tre versori $\hat w$, $\hat k$, $\hat n$

(19)
\begin{align} \int_w \left[ \bar{H}_2(\bar{r}, t) - \bar{H}_1(\bar{r}, t) \right] \circ \hat w dl = \int_w (\hat k \times \hat n) \circ \left[ \bar{H}_2(\bar{r}, t) - \bar{H}_1(\bar{r}, t) \right] dl \end{align}

il prodotto misto ha la proprietà di poter ruotare i membri del prodotto:

(20)
\begin{align} (\hat k \times \hat n) \circ \left[ \bar{H}_2(\bar{r}, t) - \bar{H}_1(\bar{r}, t) \right] = \hat k \circ (\hat n \times \left[ \bar{H}_2(\bar{r}, t) - \bar{H}_1(\bar{r}, t) \right] ) \end{align}

sostituendo nell'espressione generale si ha:

(21)
\begin{align} \int_w \hat n \times \left[ \bar{H}_2 (\bar{r}, t) - \bar{H}_1 (\bar{r}, t) \right] \circ \hat k dl = \int_w \bar{J}_S (\bar{r}, t) \circ \hat{k} dl \end{align}
(22)
\begin{align} \int_w \left[ \hat n \times ( \bar{H}_2 (\bar{r}, t) - \bar{H}_1 (\bar{r}, t)) - \bar{J}_S (\bar{r}, t) \right] \circ \hat k dl = 0 \end{align}

non è stata effettuata alcuna ipotesi su w e su $\hat k$, quindi l'integrale è nullo se è nulla la funzione integranda, ovvero la quantità moltiplicata scalarmente per $\hat k$

(23)
\begin{align} \hat n \times \left[ \bar{H}_2(\bar{r}, t) - \bar{H}_1(\bar{r}, t)) \right] = \bar{J}_S (\bar{r}, t) \end{align}

Questa condizione vale per i punti $\bar r$ appartenenti all'interfaccia.La quantità $\hat n \times \bar H$ rappresenta la componente del campo magnetico tangente all'interfaccia. Nella condizione $\bar{J}_S = 0$ allora il campo magnetico è continuo, altrimenti presenterà una discontinuità.

Analogamente si può compiere lo stesso ragionamento per il vettore $\bar E$, ottenendo la condizione

(24)
\begin{align} \hat n \times \left[ \bar{E}_2(\bar{r}, t) - \bar{E}_1(\bar{r}, t)) \right] = 0 \end{align}

Le componenti tangenziali del campo elettrico sono sempre continue.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License