Capitolo 3. Condizioni di interfaccia
Introduzione
Si considera una regione di spazio dove è presente una discontinuità del mezzo contenuto in essa. Intuitivamente, in relazione alla discontinuità del mezzo possono essere presenti discontinuità dei vettori del campo: dove il mezzo è continuo e omogeneo i campi saranno continui.
Una interfaccia è una superficie che divide due mezzi con caratteristiche differenti. Le discontinuità sono descritte da condizioni dette condizioni di interfaccia. Esistono 4 condizioni di due tipi diversi:
- 2 condizioni relative alle componenti normali dei campi
- 2 condizioni relative alle componenti tangenziali dei campi
Si considerano due mezzi: un mezzo 1 con caratteristiche $\epsilon_1$, $\mu_1$ e un mezzo 2 con caratteristiche $\epsilon_2$, $\mu_2$. Si suppone inoltre che il mezzo 1 e il mezzo due siano omogenei e separati da una superficie con forma qualunque, con $\hat n$ come vettore normale punto per punto a questa superficie.
Vettori D e B
L'equazione di Gauss in forma globale per il campo $\bar D$ è:
(1)ed essa, come le altre equazioni di Maxwell, ha validità globale e descrive l'andamento dei vettori del campo in qualunque mezzo, anche non omogeneo. Si considera una superficie chiusa S che racchiude un volume costituito da un piccolo cilindro posizionato per metà nel mezzo 1 e per metà nel mezzo 2. La superficie totale di questo solido è formata dalle due basi e dalla superficie laterale. Sia $\Delta l$ l'altezza del cilindro.
Si può spezzare l'integrale del flusso a primo membro nei tre integrali calcolati lungo le superfici delle basi e laterale:
(2)dove $\bar{D}_1$]] e $\bar{D}_2$]] sono i vettori spostamento elettrico nei mezzi 1 e 2. Si procede facendo tendere l'altezza a 0. In questo modo la superficie laterale tende a 0 e con essa anche l'ultimo integrale calcolato lungo la superficie laterale. Inoltre
(3)effettuando queste sostituzioni si ottiene:
(4)A secondo membro l'integrale sul volume può essere spezzato nell'integrale sul volume del mezzo 1, nell'integrale sul volume nel mezzo 2 e nell'integrale superficiale su $\Delta S$ :
(5)dove $\rho_{S}$ è la densità di carica superficiale, misurata in $\left[ \frac{C}{m^2} \right]$
Quando $\Delta l \rightarrow 0$, allora anche i volumi $\Delta V_1$ e $\Delta V_2$ tenderanno a 0, quindi i contributi calcolati su questi volumi sono nulli e l'unico contributo non nullo è quello relativo all'integrale superficiale.
Sostituendo questo risultato nell'equazione si ha:
(7)La superficie $\Delta S$ su cui viene calcolato l'integrale è la stessa quindi si possono unire i due integrali:
(8)Non sono state effettuate ipotesi su $\Delta S$, quindi è una superficie generica. Ne consegue che l'equazione deve essere valida per qualunque superficie. L'integrale dunque si annulla solo se si annulla la funzione integranda, ovvero:
(9)Questa condizione è un vincolo tra i vettori D presenti nei due mezzi, ed è valida solo per i punti $\bar r$ che appartengono all'interfaccia.La quantità $\bar D \circ \hat n$ identifica la componente normale del vettore D rispetto all'interfaccia. Questa equazione implica che le componenti normali del vettore spostamento elettrico non sono necessariamente continue passando dal mezzo 1 al mezzo 2. La continuità viene garantita dalla condizione $\rho_S = 0$.
Con ragionamenti analoghi si può ricavare la condizione relativa al vettore $\bar B$
(10)La componente normale del vettore B è sempre continua all'interfaccia tra due mezzi diversi: infatti non esistono cariche magnetiche isolate che possano formare una "carica magnetica" netta presente sulla superficie.
In generale non si possono effettuare affermazioni sulle componenti normali dei vettori $\bar H$ e $\bar E$.
Vettori E e H
Si considera l'equazione di Ampere in forma globale:
(11)essa afferma che la circuitazione di $\bar H$ lungo una linea chiusa l è pari al flusso del vettore $\bar D$ attraverso la superficie S sommato al flusso del vettore $\bar J$ attraverso la superficie (pari alla corrente che scorre attraverso essa). Si considera una linea chiusa che giace a metà tra il mezzo 1 e il mezzo 2, a forma di rettangolo con vertici ABCD. L'area della superficie S relativa alla linea è l'area del rettangolo con normale $\hat k$, tangente alla superficie di interfaccia. Anche il versore $\hat w$ è tangente all'interfaccia.
L'integrale a primo membro può essere spezzato nella somma dei contributi lungo i quattro lati:
(12)Dove $\bar{H}_1$ e $\bar{H}_2$ sono i vettori del campo magnetico rispettivamente nel mezzo 1 e nel mezzo 2.
Si considera la quantità $\Delta l$ tendente a 0. Gli integrali tra B e C e tra D e A sono quindi nulli. Inoltre si ha $AB = CD = w$, $\bar{dl}_2 = - \bar{dl}_1 = dl \hat w$. Sostituendo si ha:
(13)Si può portare a secondo membro tutti i contributi sotto lo stesso integrale:
(14)Il vettore normale alla superficie considerata (ovvero il rettangolo ABCD) è $\hat k$ (e non $\hat n$), quindi a secondo membro dell'equazione di Ampere si ha:
(15)Se $\Delta l \rightarrow 0$ allora il termine $\frac{d}{dt} \int_{\Delta S} \bar{D}(\bar{r}, t) \circ \hat{k} dS \rightarrow 0$ perchè si annulla la superficie $\Delta S$. Si può suddividere l'ultimo termine, relativo a $J_E$, in tre contributi relativi alla superficie $\Delta S_1$, $\Delta S_2$ e alla linea w (intersezione tra $\Delta S$ e l'interfaccia, quindi:
(16)dove $\bar{J}_E1$ e $\bar{J}_E2$ sono il vettore $\bar{J}_E$ nel mezzo 1 (superficie $\Delta S_1$) e nel mezzo 2 (superficie $\Delta S_2$).
Il termine $J_S$ è definito come la densità di corrente superficiale, ovvero la densità di corrente che attraversa l'interfaccia. Viene misurato in $\left[ \frac{A}{m}\right]$. Se $\Delta l \rightarrow 0$ allora $\Delta S \rightarrow 0$, quindi i due contributi sono nulli e si ha:
(17)Sostituendo si ha:
(18)Essendo $\hat w = \hat k \times \hat n$ si può sostituire:
(19)il prodotto misto ha la proprietà di poter ruotare i membri del prodotto:
(20)sostituendo nell'espressione generale si ha:
(21)non è stata effettuata alcuna ipotesi su w e su $\hat k$, quindi l'integrale è nullo se è nulla la funzione integranda, ovvero la quantità moltiplicata scalarmente per $\hat k$
(23)Questa condizione vale per i punti $\bar r$ appartenenti all'interfaccia.La quantità $\hat n \times \bar H$ rappresenta la componente del campo magnetico tangente all'interfaccia. Nella condizione $\bar{J}_S = 0$ allora il campo magnetico è continuo, altrimenti presenterà una discontinuità.
Analogamente si può compiere lo stesso ragionamento per il vettore $\bar E$, ottenendo la condizione
(24)Le componenti tangenziali del campo elettrico sono sempre continue.