Campi Elettromagnetici

Capitolo 2. Equazioni di Maxwell in forma globale

Legge di Gauss per il campo elettrico

(1)
\begin{align} \oint_\Sigma \bar D(\bar r, t) \circ \hat{n} dS = \int_V \rho_E(\bar r, t) dV \end{align}

Legge di Gauss per il campo magnetico

(2)
\begin{align} \oint_\Sigma \bar B(\bar r, t) \circ \hat{n} dS = 0 \end{align}

Legge di Farady-Neumann

(3)
\begin{align} \oint_l \bar E(\bar r, t) \circ \bar{dl} = - \int_{\Sigma} \frac{\partial B(\bar r, t)}{\partial t} \circ \hat{n} dS \end{align}

Legge di Maxwell-Ampere

(4)
\begin{align} \oint_l \bar H(\bar r, t) \circ \bar{dl} = \int_{\Sigma} \frac{\partial \bar D(\bar r, t)}{\partial t} \circ \hat{n} dS + \int_E \bar{J_E}(\bar r, t) \circ \hat{n} dS \end{align}

Regime stazionario

Nel regime stazionario i campi e le sorgenti non dipendono dal tempo, quindi tutte le derivate rispetto al tempo si annullano, e tutte le variabili non dipendono più dal tempo ma solo dalla posizione. Le equazioni di Maxwell diventano le seguenti:

(5)
\begin{align} \oint_\Sigma \bar D(\bar r) \circ \hat{n} dS = \int_V \rho_E(\bar r) dV \end{align}
(6)
\begin{align} \oint_\Sigma \bar B(\bar r) \circ \hat{n} dS = 0 \end{align}
(7)
\begin{align} \oint_l \bar E(\bar r) \circ \bar{dl} = 0 dS \end{align}
(8)
\begin{align} \oint_l \bar H(\bar r) \circ \bar{dl} = \int_E \bar{J_E}(\bar r) \circ \hat{n} dS \end{align}

Regime statico

Si ha un regime statico quando, oltre ad essere in regime stazionario, tutte le cariche sono ferme e non ci sono correnti elettriche. Le equazioni di Maxwell diventano:

(9)
\begin{align} \oint_\Sigma \bar D(\bar r) \circ \hat{n} dS = \int_V \rho_E(\bar r) dV \end{align}
(10)
\begin{align} \oint_\Sigma \bar B(\bar r) \circ \hat{n} dS = 0 \end{align}
(11)
\begin{align} \oint_l \bar E(\bar r) \circ \bar{dl} = 0 \end{align}
(12)
\begin{align} \oint_l \bar H(\bar r) \circ \bar{dl} = 0 \end{align}

Equazioni di Maxwell in forma locale

Legge di Gauss per il campo elettrico

(13)
\begin{align} \oint_\Sigma \bar D(\bar r, t) \circ \hat{n} dS = \int_V \rho_E(\bar r, t) dV \end{align}

Nella forma globale, il flusso attraverso una superficie chiusa del campo $\bar D$ è uguale all'integrale esteso a V, il volume racchiuso dalla superficie chiusa di $\bar{\rho_E}$, ovvero la carica totale interna alla superficie.

flusso.pdf

Flusso vettoriale attraverso una superficie chiusa (in questo esempio sferica)

Per il teorema della divergenza si ha:

(14)
\begin{align} \oint_\Sigma \bar D(\bar r, t) \circ \hat{n} dS = \int_V \nabla \circ \bar D(\bar r, t) dV \end{align}

Sostituendo il valore del flusso di $ \bar D $ nell'espressione precedente si ha:

(15)
\begin{align} \int_V \nabla \circ \bar D(\bar r, t) dV = \int_V \rho_E(\bar r, t) dV \end{align}

Si può portare tutto sotto lo stesso integrale:

(16)
\begin{align} \int_V [\nabla \circ \bar D(\bar r, t) - \rho_E(\bar r, t)] dv = 0 \end{align}

Siccome V è arbitrario, allora l'integrale è nullo se è nulla la funzione integranda, quindi:

(17)
\begin{align} \nabla \circ \bar D(\bar r, t) - \rho_E(\bar r, t) = 0 \end{align}

Da cui deriva la legge di Gauss per il campo elettrico in forma locale.

(18)
\begin{align} \nabla \circ \bar D(\bar r, t) = \rho_E(\bar r, t) \end{align}

Legge di Gauss per il campo magnetico

(19)
\begin{align} \oint_\Sigma \bar B(\bar r, t) \circ \hat{n} dS = 0 \end{align}

Nella forma globale, la legge di Gauss per il campo magnetico stabilisce che il flusso di B attraverso una qualunque superficie chiusa è nullo. Analogamente alla legge per il campo elettrico, in base al teorema della divergenza si ha:

(20)
\begin{align} \oint_\Sigma \bar B(\bar r, t) \circ \hat{n} dS = \int_V \nabla \circ \bar B(\bar r, t) dV \end{align}

Sostituendo nell'espressione si ha:

(21)
\begin{align} \int_V \nabla \circ \bar B(\bar r, t) dV = 0 \end{align}

Siccome V è arbitrario, allora l'integrale è nullo se è nulla la funzione integranda, da cui deriva la legge di Gauss per il campo magnetico in forma locale:

(22)
\begin{align} \nabla \circ \bar B(\bar r, t) = 0 \end{align}

Legge di Faraday-Neumann

Nella legge di Faraday-Neumann, la circuitazione di E lungo una linea chiusa $\lambda$ è uguale al flusso della variazione di B nel tempo, attraverso una qualunque superficie S che ha come bordo $\lambda$, cambiata di segno:

(23)
\begin{align} \oint_\lambda \bar E(\bar r, t) \circ \bar{d\lambda} = - \int_{S} \frac{\partial \bar B(\bar r, t)}{\partial t} \circ \hat{n} dS \end{align}
flusso2.pdf

Linea chiusa con superficie che ha come bordo la linea stessa

Per il teorema di Stockes si ha che:

(24)
\begin{align} \oint_\lambda \bar E(\bar r, t) \circ \bar{d\lambda} = \int_{S} [\nabla \times \bar E(\bar r, t)] \circ \hat{n} dS \end{align}

Sostituendo nell'espressione precedente si ha:

(25)
\begin{align} \int_{S} [\nabla \times \bar E(\bar r, t)] \circ \hat{n} dS = - \int_{S} \frac{\partial \bar B(\bar r, t)}{\partial t} \circ \hat{n} dS \end{align}

Portando tutto sotto lo stesso segno di integrale si ha:

(26)
\begin{align} \int_{S} [\nabla \times \bar E(\bar r, t) + \frac{\partial \bar B(\bar r, t)}{\partial t}] \circ \hat{n} dS = 0 \end{align}

Siccome la superficie è arbitraria allora l'integrale è nullo se la funzione integranda è nulla, arrivando alla formulazione della legge in forma locale:

(27)
\begin{align} \nabla \times \bar E(\bar r, t) = - \frac{\partial \bar B(\bar r, t)}{\partial t} \end{align}

Legge di Maxwell-Ampere

La legge di Maxwell-Ampere stabilisce che la circuitazione di H lungo una linea chiusa $\lambda$ è uguale al flusso di J sommato al flusso della variazione nel tempo di D attraverso una superficie S che ha come bordo $\lambda$

(28)
\begin{align} \oint_{\lambda} \bar H(\bar r, t) \circ \bar{d\lambda} = \frac{d}{dt} \int_{S} \frac{\partial \bar D(\bar r, t)}{\partial t} \circ \hat{n} dS + \int_{S} \bar{J_E}(\bar r, t) \circ \hat{n} dS \end{align}

Per il teorema di Stockes si ha:

(29)
\begin{align} \oint_{\lambda} \bar H(\bar r, t) \circ \bar{d\lambda} = \int_{S} [\nabla \times \bar H(\bar r, t)] \circ \hat{n} dS \end{align}

Sostituendo nell'espressione precedente si ha:

(30)
\begin{align} \int_{S} [\nabla \times \bar H(\bar r, t)] \circ \hat{n} dS = \int_{S} \frac{\partial \bar D(\bar r, t)}{\partial t} \circ \hat{n} dS + \int_{S} \bar{J_E}(\bar r, t) \circ \hat{n} dS \end{align}

Portando tutto sotto lo stesso segno di integrale si ha:

(31)
\begin{align} \int_{S} [\nabla \times \bar H(\bar r, t) - \frac{\partial \bar D(\bar r, t)}{\partial t} - \bar{J_E}(\bar r, t)] \circ \hat{n} dS = 0 \end{align}

Per le stesse motivazioni di prima, siccome la superficie S è arbitraria l'integrale è nullo se è nulla la funzione integranda, da cui deriva la legge di Maxwell-Ampere in forma locale:

(32)
\begin{align} \nabla \times \bar H(\bar r, t) = \frac{\partial \bar D(\bar r, t)}{\partial t} + \bar{J_E}(\bar r, t) \end{align}

Ricapitolando, le leggi di Maxwell in forma locale sono:

(33)
\begin{array} {ccc} \nabla \circ \bar D(\bar r, t) &=& \rho_E(\bar r, t) \\ \nabla \circ \bar B(\bar r, t) &=& 0 \\ \nabla \times \bar E(\bar r, t) &=& - \frac{\partial \bar B(\bar r, t)}{\partial t} \\ \nabla \times \bar H(\bar r, t) &=& \frac{\partial \bar D(\bar r, t)}{\partial t} + \bar{J_E}(\bar r, t) \end{array}

Regime stazionario in forma locale

(34)
\begin{array} {ccc} \nabla \circ \bar D(\bar r) &=& \rho_E(\bar r) \\ \nabla \circ \bar B(\bar r) &=& 0 \\ \nabla \times \bar E(\bar r) &=& 0 \\ \nabla \times \bar H(\bar r) &=& \bar{J_E}(\bar r) \end{array}

Regime statico in forma locale

(35)
\begin{array} {ccc} \nabla \circ \bar D(\bar r) &=& \rho_E(\bar r) \\ \nabla \circ \bar B(\bar r) &=& 0 \\ \nabla \times \bar E(\bar r) &=& 0 \\ \nabla \times \bar H(\bar r) &=& 0 \end{array}

Equazione di continuità

Si considera l'equazione di Maxwell-Ampere in forma locale (32), applicando l'operatore divergenza ad ambo i membri:

(36)
\begin{align} \nabla \circ \nabla \times \bar H(\bar r, t) = \nabla \circ \frac{\partial \bar D(\bar r, t)}{\partial t} + \nabla \circ \bar{J_E}(\bar r, t) \end{align}

Si osserva che per qualunque campo vettoriale F la divergenza del rotore è sempre nulla:

(37)
\begin{align} \nabla \circ \nabla \times \bar{F} = 0 \end{align}

inoltre, essendo i campi e le loro derivate continue allora si può scambiare il segno di derivata con l'operatore di divergenza:

(38)
\begin{align} \nabla \circ \frac{\partial \bar D(\bar r, t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \nabla \circ \bar D(\bar r, t) \end{align}

Sostituendo, l'espressione precedente diventa:

(39)
\begin{align} \nabla \circ \frac{\partial \bar D(\bar r, t)}{\partial t} + \nabla \circ \bar{J_E}(\bar r, t) = 0 \end{align}

In base all'equazione di Gauss per il campo elettrico in forma locale si ha $\nabla \circ \bar D(\bar r, t) = \rho_E(\bar r, t)$, quindi sostituendo si ottiene l'espressione locale dell'equazione di continuità

(40)
\begin{align} \nabla \circ \bar{J_E}(\bar r, t) = - \frac{\partial \bar{J_E}(\bar r, t)}{\partial t} \end{align}

Per ottenere l'equazione in forma globale si integrano ambo i membri su un volume V:

(41)
\begin{align} \int_V \nabla \circ \bar{J_E}(\bar r, t) = - \int_V \frac{\partial \bar{\rho_E}(\bar r, t)}{\partial t} \end{align}

Per il teorema della divergenza, la quantità a primo membro è pari a:

(42)
\begin{align} \int_V \nabla \circ \bar{J_E}(\bar r, t) = \oint_{S} \bar{J_E}(\bar r, t) \circ \bar{n} dS \end{align}

Quindi sostituendo e potendo scambiare il segno di integrale con quello di derivata, che diventa totale, si ha:

(43)
\begin{align} \oint_{S} \bar{J_E}(\bar r, t) \circ \bar{n} dS = - \frac{d}{dt} \int_V \bar{\rho_E}(\bar r, t) dV \end{align}

Siccome la corrente totale uscente da S è $i(t) = \oint_{S} \bar{J_E}(\bar r, t) \circ \bar{n} dS$ e la carica totale contenuta in V è $q_v(t) = \int_V \bar{\rho_E}(\bar r, t) dV$ allora l'equazione di continuità in forma globale si può esprimere come:

(44)
\begin{align} i(t) = - \frac{d}{dt} q_V(t) \end{align}

che si può interpretare così: la corrente uscente da una regione corrisponde sempre alla diminuzione della carica presente nella regione stessa. E' una riformulazione del principio di conservazione della carica, che non può essere creata o distrutta.

Equazioni costitutive

Le equazioni costitutive legano i campi vettoriali D, B, J in funzione dei campi E, H. Sono dunque nella forma:

(45)
\begin{eqnarray} \bar{D}(\bar{r}, t) = d[\bar{E}(\bar{r}, t), \bar{H}(\bar{r}, t)] \\ \bar{B}(\bar{r}, t) = b[\bar{E}(\bar{r}, t), \bar{H}(\bar{r}, t)] \\ \bar{J}(\bar{r}, t) = j[\bar{E}(\bar{r}, t), \bar{H}(\bar{r}, t)] \end{eqnarray}

I mezzi sono caratterizzati dalle equazioni costitutive, ovvero dalle funzioni d, b, j.
Una funzione è lineare se dati:

(46)
\begin{eqnarray} \bar{D}_1(\bar{r}, t) = d[\bar{E}_1(\bar{r}, t), \bar{H}_1(\bar{r}, t)] \\ \bar{D}_2(\bar{r}, t) = d[\bar{E}_2(\bar{r}, t), \bar{H}_2(\bar{r}, t)] \end{eqnarray}

si ha:

(47)
\begin{align} \bar{D}_1(\bar{r}, t) + \bar{D}_2(\bar{r}, t) = d[\bar{E}_1(\bar{r}, t) + \bar{E}_2(\bar{r}, t), \bar{H}_1(\bar{r}, t) + \bar{H}_2(\bar{r}, t)] \end{align}

Un mezzo caratterizzato da funzioni lineari è lineare.

Una funzione f è tempo-invariante se data:

(48)
\begin{align} \bar{D}(\bar{r}, t) = d[\bar{E}(\bar{r}, t), \bar{H}(\bar{r}, t)] \end{align}

si ha:

(49)
\begin{align} \bar{D}(\bar{r}, t-t_0) = d[\bar{E}(\bar{r}, t-t_0), \bar{H}(\bar{r}, t-t_0)] \end{align}

Ovvero, la funzione f non varia nel tempo. Un mezzo caratterizzato da relazioni tempo-invarianti è tempo-invariante.

Una funzione è omogenea se dato:

(50)
\begin{align} \bar{D}(\bar{r}, t) = d[\bar{E}(\bar{r}, t), \bar{H}(\bar{r}, t)] \end{align}

si ha:

(51)
\begin{align} \bar{D}(\bar{r}-\bar{r_0}, t) = d[\bar{E}(\bar{r}-\bar{r_0}, t), \bar{H}(\bar{r}-\bar{r_0}, t)] \end{align}

Ovvero, la funzione non dipende dalla posizione. Un mezzo caratterizzato da funzioni omogenei è omogeneo.

  • Una funzione è detta non dispersiva nel tempo se il valore di D in un dato istante dipende solo dal valore di E e H valutati nello stesso istante.
  • Una funzione è detta non dispersiva nello spazio se il valore di D in un dato punto dello spazio dipende solo dal valore di E e H valutati nello stesso punto.

Un mezzo viene detto:

  • Bianisotropo se i campi D o B è una funzione sia di E che di H.
  • Anisotropo se i campi D e J dipendono solo da E e il campo B dipende solo da H. con i vettori D ed E e B e H non paralleli.
  • Isotropo se i campi D e J dipendono solo da E e sono paralleli con quest'ultimo, e se il campo B dipende solo da H ed è parallelo con quest'ultimo.
  • Ohmico se vale la legge di Ohm, ovvero $\bar{J}(\bar{r}, t) = \bar{\sigma}(\bar{r}, t)\bar{E}(\bar{r}, t)$
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License