Campi Elettromagnetici

Capitolo 1. Introduzione

Si sa che la carica elettrica è riconducibile alla presenza di cariche elementari (protoni ed elettroni), quindi qualunque quantità di carica è un multiplo della carica fondamentale: la carica è quantizzata. La carica elementare è:
$q \simeq 1.6 \cdot 10^{-19} C$. Per l'elettromagnetismo classico (macroscopico) si può supporre che la densità di carica sia continua. In questo senso anche parlare di cariche puntiformi non è preciso dal punto di vista fisico, essendo una approssimazione che si effettua quando si considerano distribuzioni di carica di dimensioni trascurabili.

Sorgenti del Campo

Le sorgenti del campo elettromagnetico sono descritte da due quantità:

  • la densità volumetrica di carica $\rho_E(\bar r, t)$
  • la densità di corrente elettrica $J_E(\bar r, t)$

La densità volumetrica di carica è una funzione della posizione e del tempo e si misura in $\[\frac{C}{m^3}\]$, si indica con $\rho_E$ e descrive quanta carica per unità di volume si trova in una certa zona dello spazio.

La quantità di carica q contenuta in una regione di spazio $V$ è

(1)
\begin{align} q(t) = \int_V \rho_E(\bar r, t) dV \end{align}

Trattandosi di un integrale di volume, q non può dipendere dalla posizione ma solo dal tempo, essendo la carica totale presente nel volume. La variabile relativa alla posizione sparisce nell'operazione di integrazione.
La densità di corrente elettrica è un campo vettoriale che si indica con $\bar{J_E}(\bar r, t)$, descrive delle cariche in moto ed è quindi associato alla loro direzione e velocità. L'unità di misura è $[\frac{A}{m^2}]$. La corrente elettrica che attraversa una superficie $\Sigma$ è data dal flusso vettoriale di $\bar{J_E}(\bar r, t)$ attraverso $\Sigma$:

(2)
\begin{align} i(t) = \int_{\Sigma} \bar{J_E}(\bar r, t) \circ \hat{n} d\Sigma \end{align}

Mentre le correnti e le quantità di carica sono quantità globali e interessano aree e volumi estesi, le densità di corrente e di carica sono quantità locali.

Le grandezze descrittive del campo elettromagnetico sono:

  • $\bar E$: campo elettrico
  • $\bar H$: campo magnetico
  • $\bar D$: induzione elettrica
  • $\bar B$: induzione magnetica

in funzione della posizione individuata dal vettore $\bar r$ e del tempo t. Affichè esista un campo devono essere presenti delle sorgenti di campo costituite da cariche elettriche fisse o in movimento (correnti), anch'esse funzione del tempo e della posizione. Le sorgenti e il campo da esse generato sono vincolate dalle equazioni di Maxwell, leggi sperimentali di validità generale (in ambito macroscopico). Qualunque problema di natura elettromagnetica può essere sempre ricondotto al calcolo dei 4 vettori descrittivi dati i 2 vettori che descrivono le sorgenti.

Esempio

Data una regione di spazio nella cui origine è presente una carica puntiforme di valore $q_0$, l'espressione analitica della densità di carica $\rho_E (\bar r, t)$ è pari a:

(3)
\begin{align} \rho_E (\bar r, t) = lim_{\Delta V \Rightarrow 0} \frac{\Delta q(\bar r, t)}{\Delta V} \end{align}

dove $\Delta q$ è la quantità di carica presente nell'istante $t$ nel volume $\Delta V$ di centro $r$.

Nelle regioni esterne all'origine la densità di carica è nulla perché $\Delta q = 0$. Nell'origine è presente una carica puntiforme $q_0$ racchiusa in un punto di volume $\Delta V = 0$. La sua densità è data dalla funzione \textbf{delta di Dirac}, una funzione impulsiva.

Quindi, la densità di carica è pari a $q_0 \delta (\bar r)$. Se la carica fosse posizionata in $\bar r_0$, allora la corrispondente densità di carica è $q_0 \delta (\bar r - \bar r_0)$. Infatti, la funzione delta di Dirac ha la seguente caratteristica: data una funzione f continua in $r_0$ e un volume V contenente $r_0$, allora:

(4)
\begin{align} \int_V f(\bar r) \delta(\bar r - \bar r_0) dV = f(\bar r_0) \end{align}

se invece il volume V non contiene $r_0$ allora

(5)
\begin{align} \int_V f(\bar r) \delta(\bar r - \bar r_0) dV = 0 \end{align}

perché $\delta(\bar r - \bar r_0) = 0$ per $\bar r \ne \bar r_0$.

Per verificare che effettivamente la densità di carica corrispondente ad una carica puntiforme $q_0$ è $\rho_E(\bar r, t) = q_0 \delta(\bar r)$, si può integrare $\rho_E(\bar r, t)$ su un volume V contenente la carica.

(6)
\begin{align} q = \int_V q_0 \delta(\bar r) dV = q_0 \end{align}

Se invece si considera un volume $V'$ che non contiene una carica

(7)
\begin{align} q = \int_{V'} q_0 \delta(\bar r) dV = 0 \end{align}

Esempio

Siano $q_1$, $q_2$, $q_3$ tre cariche puntiformi con i seguenti valori: $q_1 = 1 C$, $q_2 = -1 C$, $q_3 = 2 C$ e siano posizionate alle seguenti coordinate: $q_1$ in (1,0,0), $q_2$ in (2,0,0), $q_3$ in (3/2, 3/2, 0).
I vettori posizione sono: $\bar r_1 = \hat x$, $\bar r_2 = 2 \hat x$, $\bar r_3 = 3/2 \hat x + 3/2 \hat y$. La densità di carica è pari a:

(8)
\begin{align} \rho_E (\bar r, t) = 1 \delta(\bar r - \bar r_1) - 1 \delta(\bar r - \bar r_2) + 2 \delta(\bar r - \bar r_3) \end{align}

Esempio

Sapendo che il campo $\bar D$ generato da una carica puntiforme $q_0$ posta nell'origine è diretto radialmente, l'espressione analitica di $\bar D$ è pari a (in coordinate sferiche):

(9)
\begin{align} \bar D(\bar r, t) = D(\bar r, t) \hat r \end{align}

Essendo in ambito statico, $\bar D(\bar r, t) = \bar D(\bar r)$ e per ragioni di simmetria $\bar D(\bar r) = D(r, \vartheta, \varphi) \hat r = D(r) \hat r$, poiché D non dipende da $\vartheta$ e da $\varphi$.
Per la legge di Gauss, il flusso attraverso una qualunque superficie chiusa $\Sigma$ è pari alla carica contenuta al suo interno. La scelta più comoda consiste nello scegliere una sfera centrata nell'origine e con raggio $R$.

(10)
\begin{align} \oint_{\Sigma} \bar D \circ \hat n dS = \int_V \rho_E dV = \int_V q_0 \delta(\bar r) dV = q_0 \end{align}

la normale $\hat n$ alla sfera punta verso l'esterno e coincide con $\hat r$: $\hat n \equiv \hat r$.
La superficie $\Sigma$, in coordinate sferiche ha i seguenti parametri:

(11)
\begin{align} \Sigma = \left\{ \begin{array}{l} r = R \\ \vartheta \in [0, \pi] \\ \varphi \in [0, 2\pi] \end{array} \right. \end{align}

essendo $dS = R^2 sin \vartheta d \vartheta d \varphi$, il flusso di $\bar D$ è:

(12)
\begin{array} {lll} \oint_{\Sigma} \bar D \circ \hat n dS &=& \int_0^\pi \int_0^{2\pi} D(R) \hat r \circ \hat n (R^2 \sin \vartheta) d\vartheta d\varphi \\ &=& D(R) R^2 \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \sin \vartheta d \vartheta d \varphi \\ &=& D(R) R^2 \int_0^\pi \sin \vartheta \int_0^{2\pi} d \varphi = D(R) R^2 [-\cos \vartheta]_0^\pi [\varphi]_0^{2\pi} \\ &=& 4 \pi R^2 D(R) \end{array}

quindi

(13)
\begin{align} 4 \pi R^2 D(R) = q_0 \end{align}

ovvero

(14)
\begin{align} D(R) = \frac{q_0}{4 \pi R^2} \end{align}

la corrispondente funzione vettoriale è:

(15)
\begin{align} \bar D(\bar r) = \frac{q_0}{4 \pi \vert \bar r \vert^2} \hat r \end{align}

Forza di Lorentz

Una particella puntiforme di carica $q$, immersa in un campo elettromagnetico, è soggetta ad una forza $\bar{F}$ è pari a:
[[math eqn:lorentz]]
\bar{F} = q (\bar{E} + \bar{v} \times \bar{B})
[[/math]]
dove $\bar v$ è la velocità della particella. Un primo contributo alla forza è il termine $q \bar{E}$, nella stessa direzione del campo elettrico $\bar E$, mentre il secondo contributo pari a $\bar v \times \bar B$ è diretto ortogonalmente al piano formato dai vettori $\bar v$ e $\bar B$.

E' possibile ricavare una espressione analoga per una distribuzione di carica $\rho_E$:

(16)
\begin{align} \bar{f} = \rho_E \bar E + \bar J_E \times \bar B \end{align}

dove $\bar f$ è detta densità di forza ed è misurata in $\left[ \frac{N}{m^3} \right]$.

In regime statico la forza di Lorentz ha delle particolari proprietà, ovvero quando $\bar v = 0$, poiché non ci sono cariche in moto. Allora la forza si riduce a:

(17)
\begin{align} \bar F = q \bar E \end{align}

Inoltre, si può dimostrare (vedere il capitolo sui potenziali) che:

(18)
\begin{align} \bar E = - \nabla V \end{align}

quindi si ha

(19)
\begin{align} \bar F = - q \nabla V \end{align}

Si considera il lavoro che il campo elettrico compie su una carica. Il lavoro di una forza su un oggetto è definito come:

(20)
\begin{align} L_{AB} = \int_{AB} \bar F \circ \bar{dl} \end{align}

Nel caso elettrostatico si ha:

(21)
\begin{align} L_{AB} = -q \int_{AB} \nabla V \circ \bar{dl} \end{align}

l'integrale tra A e B è pari al potenziale calcolato in B sottratto al potenziale calcolato in A:

(22)
\begin{equation} = -q (V_B - V_A) \end{equation}

il lavoro, in un campo conservativo, è uguale alla variazione di energia potenziale del corpo da A a B:

(23)
\begin{equation} U_B - U_A \end{equation}

Poiché il potenziale è definito a meno di una costante, si può porre:

(24)
\begin{align} U \triangleq q V \end{align}

Si considera una carica puntiforme fissa $q_1$ e una carica puntiforme $q_2$ in rotazione attorno a $q_1$ lungo una circonferenza di raggio R. Sia

(25)
\begin{equation} q_1 = - q_2 = q \end{equation}

La carica $q_2$ è sottoposta ad una forza centripeta rivolta verso il centro. Usando coordinate polari si ha:

(26)
\begin{align} \bar{f_c} = - f_c \hat r \end{align}

inoltre

(27)
\begin{align} f_c = m \frac{V_2}{R} \end{align}

La carica $q_1$ ha una densità di carica pari a:

(28)
\begin{align} \rho_1 = q \delta(r) \end{align}

allora il potenziale generato da $\rho_1$ è:

(29)
\begin{align} V_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int q \delta(r) \frac{1}{\vert \bar r - \bar r' \vert} dr' \end{align}

l'integrale è pari al valore della funzione che moltiplica $\delta$ calcolata nell'origine $r' \equiv 0$:

(30)
\begin{align} V_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} q \frac{1}{\vert \bar r \vert} + C \end{align}

La carica $q_2$ è immersa in un campo elettrico associato al potenziale $V_1$. Scegliendo $C = 0$ si pone per i punti all'infinito un potenziale nullo. L'energia potenziale di $q_2$ è:

(31)
\begin{align} U_2 = -q V_1 = - \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 \vert R \vert} \end{align}

poiché $q_2$ si trova su una circonferenza di raggio R.
Si considera la forza elettrostatica a cui è soggetto $q_2$. Al campo generato da $q_1$ è associata una forza $q \bar E$. Essendo

(32)
\begin{align} \bar E = - \nabla V_1 \end{align}

scegliendo il sistema di coordinate sferiche:

(33)
\begin{align} E = - \left( \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{R} \right) \hat r + \frac{\partial}{\partial \vartheta} \left( \dots \right) + \frac{\partial}{\partial \varphi} \left( \dots \right) \right) \end{align}

I termini relativi alle variabili $\vartheta$ e $\varphi$ sono nulli, poiché l'espressione dipende solo da $r$.

(34)
\begin{align} E = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r} \right) \hat r = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2} \hat r \end{align}

La forza è diretta radialmente:

(35)
\begin{align} \bar F = q_2 \bar E = -q \bar E = - \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 R} \hat r \end{align}

uguagliando le espressioni della forza si ha che:

(36)
\begin{align} m \frac{v^2}{R} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2} \end{align}
(37)
\begin{align} m v^2 = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R} \end{align}

L'energia cinetica $K$ è:

(38)
\begin{align} K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{q^2}{8 \pi \varepsilon_0 R} \end{align}

L'energia totale è data dalla somma tra energia cinetica $K$ ed energia potenziale $U$.

(39)
\begin{align} E = K + U = - \frac{q^2}{8 \pi \varepsilon_0 R} < 0 \end{align}

Quindi $q_2$ ha sempre energia negativa. Se si vuole far uscire $q_2$ dalla sua orbita attorno a $q_1$, è necessario compiere un lavoro positivo.

Momento angolare

Il momento angolare di una particella di massa $m$ con vettore posizione $\bar r$ e velocità $\bar v$ si definisce come:

(40)
\begin{align} \bar l = \bar r \times m \bar v \end{align}

è diretto lungo l'asse $z$:

(41)
\begin{align} \bar l = l_z \hat z \end{align}

quindi

(42)
\begin{align} l_z = m \vert \bar v \vert \vert \bar r \vert \end{align}
(43)
\begin{align} \bar l = m v R \hat z \end{align}

moltiplicando ambo i membri della relazione dell'energia cinetica per $m R^2$ si ha:

(44)
\begin{align} R^2 m^2 v^2 = \frac{m q^2 R}{4 \pi \varepsilon_0} = l_z^2 = q^2 \frac{mR}{4 \pi \varepsilon_0} \end{align}

da cui si ottiene:

(45)
\begin{align} R = \frac{4 \pi \varepsilon l_z^2}{q^2 m} \end{align}

Quando una carica ruota è accelerata, poiché è soggetta ad una forza non nulla e irradia energia elettromagnetica. Secondo la meccanica classica dovrebbe perdere gradualmente energia diminuendo la sua distanza dalla carica centrale fino a collassare su di essa. Verso la fine dell'800 l'atomo di idrogeno era modellato in questo modo.

Bohr suppose che il momento angolare fosse quantizzato, ovvero

(46)
\begin{align} l_z = n \frac{h}{2 \pi} \mbox{ con } n = 1, 2, \dots \end{align}

dove $h \simeq 6.62 \cdot 10^{-34} Js$
Si definisce la costante $\hbar$ come:

(47)
\begin{align} \hbar \triangleq \frac{h}{2 \pi} \end{align}

da cui, la formula diventa

(48)
\begin{align} l_z = n \hbar \end{align}

Supponendo una tale relazione, anche il valore di $R$ è quantizzato; per un dato valore di $n$ si ha:

(49)
\begin{align} R_n = \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2 n^2}{q^2 m} \end{align}

dove $n \in N$. Essendo quantizzato, il valore di $R$ non può assumere un qualunque valore: per $n=1$ si ha

(50)
\begin{align} R_1 = \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{q^2 m} \simeq 0.529 \cdot 10^{-10} m \end{align}

che è circa il raggio dell'orbita dell'elettrone.
Per le orbite successive si ha:

(51)
\begin{equation} R_n = n^2 R_1 \end{equation}

Poiché l'energia $E$ dipende da $R$, anch'essa è quantizzata:

(52)
\begin{align} E = - \frac{1}{n^2} \frac{q^2}{8 \pi \varepsilon_0 R_1} \end{align}

Anche questa teoria non è completamente valida, ed è stata sostituita dalla meccanica quantistica.

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